Номер 16, страница 136 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Четырехугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Вопросы для повторения к главе 6 - номер 16, страница 136.

Условие.

16 Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 11.

Для доказательства этих свойств воспользуемся определением ромба и свойствами равнобедренного треугольника.

Пусть нам дан ромб ABCD. По определению, ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны, то есть $AB = BC = CD = DA$. Его диагонали AC и BD пересекаются в точке O.

Доказательство того, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны

Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Так как по определению ромба $AB = AD$, то треугольник $\triangle ABD$ является равнобедренным с основанием BD.

Ромб является частным случаем параллелограмма, а по свойству диагоналей параллелограмма, они точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, точка O является серединой диагонали BD.

Таким образом, отрезок AO является медианой треугольника $\triangle ABD$, проведенной к его основанию.

Согласно свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Отсюда следует, что $AO \perp BD$.

Поскольку отрезок AO является частью диагонали AC, то и вся диагональ $AC \perp BD$. Первое утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Доказательство того, что диагонали ромба делят его углы пополам

Воспользуемся теми же рассуждениями.

В равнобедренном треугольнике $\triangle ABD$ медиана AO, проведенная к основанию BD, является также и биссектрисой угла $\angle BAD$.

Следовательно, $\angle BAO = \angle DAO$, а это означает, что диагональ AC делит угол $\angle A$ пополам.

Аналогично, если рассмотреть равнобедренный треугольник $\triangle ABC$ (стороны $AB=BC$), то отрезок BO будет являться в нем медианой, проведенной к основанию AC. Следовательно, BO является и биссектрисой угла $\angle ABC$, а значит, диагональ BD делит угол $\angle B$ пополам.

Таким же образом можно доказать, что диагональ AC делит пополам угол $\angle C$ (рассмотрев $\triangle BCD$) и что диагональ BD делит пополам угол $\angle D$ (рассмотрев $\triangle CDA$). Второе утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что диагонали ромба делят его углы пополам.