Номер 520, страница 137 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Глава 6. Четырехугольники - номер 520, страница 137.

520 Докажите, что если не все углы выпуклого четырёхугольника равны друг другу, то хотя бы один из них тупой.

Докажем данное утверждение методом от противного.

Пусть углы выпуклого четырёхугольника равны $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$ и $\alpha_4$. Известно, что сумма углов выпуклого четырёхугольника составляет $360^\circ$:$ \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4 = 360^\circ $

По условию задачи, не все углы четырёхугольника равны между собой.

Предположим обратное тому, что требуется доказать: пусть ни один из углов не является тупым. Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$. Таким образом, наше предположение означает, что каждый угол четырёхугольника меньше или равен $90^\circ$:$ \alpha_1 \le 90^\circ $
$ \alpha_2 \le 90^\circ $
$ \alpha_3 \le 90^\circ $
$ \alpha_4 \le 90^\circ $

Сложив эти четыре неравенства, мы получим:$ \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4 \le 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ $$ \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4 \le 360^\circ $

Однако мы знаем, что сумма углов выпуклого четырёхугольника в точности равна $360^\circ$. Равенство в сумме $ \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4 = 360^\circ $ при условии, что каждое слагаемое $ \alpha_i \le 90^\circ $, может быть достигнуто только в одном случае: когда каждое из слагаемых принимает своё максимальное возможное значение. То есть, все углы должны быть равны $90^\circ$:$ \alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_3 = \alpha_4 = 90^\circ $

Этот вывод противоречит первоначальному условию задачи, согласно которому не все углы четырёхугольника равны друг другу. Следовательно, наше предположение о том, что ни один угол не является тупым, было неверным.

Таким образом, если не все углы выпуклого четырёхугольника равны, то хотя бы один из них обязательно должен быть тупым.

Ответ: Утверждение доказано.