Номер 527, страница 137 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Глава 6. Четырехугольники - номер 527, страница 137.

527 Точка K — середина медианы AM треугольника ABC. Прямая ВK пересекает сторону АС в точке D. Докажите, что AD = 13AC.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом дополнительного построения.

Дано:

• Треугольник $ABC$.
• $AM$ — медиана ($M$ — середина $BC$).
• $K$ — середина медианы $AM$ ($AK = KM$).
• Прямая $BK$ пересекает $AC$ в точке $D$.

Доказать:

$AD = \frac{1}{3}AC$.

Доказательство:

1. Проведем через точку $M$ прямую, параллельную прямой $BD$. Пусть эта прямая пересекает сторону $AC$ в точке $E$. Таким образом, по построению $ME \parallel BD$.

2. Рассмотрим треугольник $CBD$. В нем отрезок $ME$ соединяет точку $M$ на стороне $BC$ с точкой $E$ на стороне $AC$. Так как $ME \parallel BD$ и $M$ является серединой стороны $BC$ (поскольку $AM$ — медиана), то по теореме Фалеса, отрезок $ME$ отсекает на стороне $CD$ отрезок $CE$, равный отрезку $DE$. То есть, точка $E$ является серединой отрезка $DC$. Следовательно, $DE = EC$.

3. Теперь рассмотрим треугольник $AME$. В нем отрезок $KD$ является частью прямой $BK$, а прямая $BK$ параллельна прямой $ME$ по нашему построению. Таким образом, $KD \parallel ME$. По условию задачи, точка $K$ является серединой стороны $AM$. Снова применяя теорему Фалеса, получаем, что прямая $KD$ отсекает на стороне $AE$ отрезок $AD$, равный отрезку $DE$. То есть, точка $D$ является серединой отрезка $AE$. Следовательно, $AD = DE$.

4. Сопоставим результаты, полученные в пунктах 2 и 3:

• $AD = DE$
• $DE = EC$

Из этого следует, что $AD = DE = EC$.

5. Сторона $AC$ состоит из трех отрезков: $AD$, $DE$ и $EC$. Мы можем записать ее длину как сумму длин этих отрезков:

$AC = AD + DE + EC$

Поскольку $DE = AD$ и $EC = AD$, мы можем заменить их в этом выражении:

$AC = AD + AD + AD = 3 \cdot AD$

6. Из полученного равенства $AC = 3 \cdot AD$ выражаем $AD$:

$AD = \frac{1}{3}AC$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что $AD = \frac{1}{3}AC$, доказано.