Номер 526, страница 137 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Глава 6. Четырехугольники - номер 526, страница 137.

526 Докажите, что выпуклый четырёхугольник является параллелограммом, если его противоположные углы попарно равны.

Пусть дан выпуклый четырёхугольник, у которого противоположные углы попарно равны. Обозначим его вершины как A, B, C, D. По условию, $?A = ?C$ и $?B = ?D$.

Сумма внутренних углов любого выпуклого четырёхугольника равна $360°$. Для данного четырёхугольника ABCD это означает: $?A + ?B + ?C + ?D = 360°$.

Используя условие равенства противоположных углов, заменим в этом выражении $?C$ на $?A$ и $?D$ на $?B$: $?A + ?B + ?A + ?B = 360°$.

Приведя подобные слагаемые, получим: $2?A + 2?B = 360°$.

Вынесем общий множитель 2 за скобки: $2(?A + ?B) = 360°$.

Разделим обе части равенства на 2: $?A + ?B = 180°$.

Рассмотрим стороны AD и BC и секущую AB. Углы $?A$ и $?B$ являются односторонними внутренними углами при этих прямых. Поскольку их сумма равна $180°$, по признаку параллельности прямых, прямые AD и BC параллельны, то есть $AD \parallel BC$.

Аналогично, так как $?A = ?C$, мы можем утверждать, что $?B + ?C = 180°$. Углы $?B$ и $?C$ являются односторонними внутренними углами при прямых AB и DC и секущей BC. Поскольку их сумма равна $180°$, прямые AB и DC параллельны, то есть $AB \parallel DC$.

Таким образом, в четырёхугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны ($AD \parallel BC$ и $AB \parallel DC$). По определению, четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом.

Ответ: Что и требовалось доказать.