Номер 526, страница 137 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Четырехугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Дополнительные задачи - номер 526, страница 137.

Условие.

526 Докажите, что выпуклый четырёхугольник является параллелограммом, если его противоположные углы попарно равны.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 9.

Решение 11.

Пусть дан выпуклый четырёхугольник, у которого противоположные углы попарно равны. Обозначим его вершины как A, B, C, D. По условию, $?A = ?C$ и $?B = ?D$.

Сумма внутренних углов любого выпуклого четырёхугольника равна $360°$. Для данного четырёхугольника ABCD это означает: $?A + ?B + ?C + ?D = 360°$.

Используя условие равенства противоположных углов, заменим в этом выражении $?C$ на $?A$ и $?D$ на $?B$: $?A + ?B + ?A + ?B = 360°$.

Приведя подобные слагаемые, получим: $2?A + 2?B = 360°$.

Вынесем общий множитель 2 за скобки: $2(?A + ?B) = 360°$.

Разделим обе части равенства на 2: $?A + ?B = 180°$.

Рассмотрим стороны AD и BC и секущую AB. Углы $?A$ и $?B$ являются односторонними внутренними углами при этих прямых. Поскольку их сумма равна $180°$, по признаку параллельности прямых, прямые AD и BC параллельны, то есть $AD \parallel BC$.

Аналогично, так как $?A = ?C$, мы можем утверждать, что $?B + ?C = 180°$. Углы $?B$ и $?C$ являются односторонними внутренними углами при прямых AB и DC и секущей BC. Поскольку их сумма равна $180°$, прямые AB и DC параллельны, то есть $AB \parallel DC$.

Таким образом, в четырёхугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны ($AD \parallel BC$ и $AB \parallel DC$). По определению, четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом.

Ответ: Что и требовалось доказать.