Страница 137 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

520 Докажите, что если не все углы выпуклого четырёхугольника равны друг другу, то хотя бы один из них тупой.

Докажем данное утверждение методом от противного.

Пусть углы выпуклого четырёхугольника равны $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$ и $\alpha_4$. Известно, что сумма углов выпуклого четырёхугольника составляет $360^\circ$:$ \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4 = 360^\circ $

По условию задачи, не все углы четырёхугольника равны между собой.

Предположим обратное тому, что требуется доказать: пусть ни один из углов не является тупым. Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$. Таким образом, наше предположение означает, что каждый угол четырёхугольника меньше или равен $90^\circ$:$ \alpha_1 \le 90^\circ $
$ \alpha_2 \le 90^\circ $
$ \alpha_3 \le 90^\circ $
$ \alpha_4 \le 90^\circ $

Сложив эти четыре неравенства, мы получим:$ \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4 \le 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ $$ \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4 \le 360^\circ $

Однако мы знаем, что сумма углов выпуклого четырёхугольника в точности равна $360^\circ$. Равенство в сумме $ \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4 = 360^\circ $ при условии, что каждое слагаемое $ \alpha_i \le 90^\circ $, может быть достигнуто только в одном случае: когда каждое из слагаемых принимает своё максимальное возможное значение. То есть, все углы должны быть равны $90^\circ$:$ \alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_3 = \alpha_4 = 90^\circ $

Этот вывод противоречит первоначальному условию задачи, согласно которому не все углы четырёхугольника равны друг другу. Следовательно, наше предположение о том, что ни один угол не является тупым, было неверным.

Таким образом, если не все углы выпуклого четырёхугольника равны, то хотя бы один из них обязательно должен быть тупым.

Ответ: Утверждение доказано.

521 Периметр параллелограмма ABCD равен 46 см, AB = 14 см. Какую сторону параллелограмма пересекает биссектриса угла А? Найдите отрезки, которые образуются при этом пересечении.

По условию задачи, нам дан параллелограмм $ABCD$ с периметром $P = 46$ см и стороной $AB = 14$ см.

1. Сначала найдем длину смежной стороны $AD$. Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме двух смежных сторон: $P = 2(AB + AD)$. Подставив известные значения, получим: $46 = 2(14 + AD)$ Разделим обе части уравнения на 2: $23 = 14 + AD$ Отсюда находим длину стороны $AD$: $AD = 23 - 14 = 9$ см.

В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому: $AB = CD = 14$ см $AD = BC = 9$ см.

Пусть $AK$ — биссектриса угла $A$. По определению биссектрисы, $\angle DAK = \angle BAK$. Биссектриса, выходящая из вершины $A$, может пересечь либо сторону $BC$, либо сторону $CD$.

Предположим, что биссектриса пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Рассмотрим прямые $AD$ и $BC$. Они параллельны ($AD \parallel BC$), а $AK$ является секущей. Следовательно, накрест лежащие углы $\angle DAK$ и $\angle BKA$ равны. Поскольку $AK$ — биссектриса, то $\angle DAK = \angle BAK$. Из этих двух равенств следует, что $\angle BAK = \angle BKA$. Это означает, что треугольник $\triangle ABK$ является равнобедренным с основанием $AK$, а значит, его боковые стороны равны: $BK = AB$. Так как $AB = 14$ см, то и $BK$ должно быть равно 14 см. Однако длина стороны $BC$ равна 9 см. Так как $BK > BC$ ($14 > 9$), точка $K$ не может принадлежать отрезку $BC$. Наше предположение неверно.

Следовательно, биссектриса угла $A$ пересекает сторону $CD$. Проверим это. Пусть биссектриса пересекает сторону $CD$ в точке $K$. Рассмотрим параллельные прямые $AB$ и $CD$ и секущую $AK$. Накрест лежащие углы $\angle BAK$ и $\angle AKD$ равны. Так как $AK$ — биссектриса, $\angle DAK = \angle BAK$. Отсюда следует, что $\angle DAK = \angle AKD$. Значит, треугольник $\triangle ADK$ является равнобедренным с основанием $AK$, и его боковые стороны равны: $DK = AD$. Поскольку $AD = 9$ см, то $DK = 9$ см. Длина стороны $CD$ равна 14 см. Так как $DK < CD$ ($9 < 14$), точка $K$ действительно лежит на отрезке $CD$.

Ответ: биссектриса угла $A$ пересекает сторону $CD$.

Мы установили, что биссектриса угла $A$ пересекает сторону $CD$ в точке $K$. Таким образом, сторона $CD$ делится на два отрезка: $CK$ и $KD$.

Из рассмотрения равнобедренного треугольника $\triangle ADK$ мы выяснили, что длина отрезка $KD$ равна длине стороны $AD$: $KD = AD = 9$ см.

Длина всей стороны $CD$ равна 14 см. Длину второго отрезка, $CK$, можно найти, вычтя из длины всей стороны длину отрезка $KD$: $CK = CD - KD = 14 - 9 = 5$ см.

Таким образом, биссектриса делит сторону $CD$ на два отрезка.

Ответ: отрезки, которые образуются при пересечении, равны 9 см и 5 см.

522 Стороны параллелограмма равны 10 см и 3 см. Биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три отрезка. Найдите эти отрезки.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Согласно условию, его стороны равны 10 см и 3 см. Пусть большая сторона $AD = 10$ см, а боковая сторона $AB = 3$ см. Тогда противоположные стороны также равны: $BC = AD = 10$ см и $CD = AB = 3$ см.

Рассмотрим биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне $AD$, то есть углов $?A$ и $?D$. Пусть биссектриса угла $A$, назовем ее $AK$, пересекает противоположную сторону $BC$ в точке $K$. Пусть биссектриса угла $D$, назовем ее $DM$, пересекает сторону $BC$ в точке $M$.

1. Рассмотрим треугольник $ABK$. Так как в параллелограмме стороны $AD$ и $BC$ параллельны, то $?DAK$ и $?BKA$ являются накрест лежащими углами при секущей $AK$. Следовательно, $?DAK = ?BKA$. По определению биссектрисы, $AK$ делит угол $A$ пополам, поэтому $?DAK = ?BAK$. Из этого следует, что $?BKA = ?BAK$. Таким образом, треугольник $ABK$ является равнобедренным с основанием $AK$, а значит, его боковые стороны равны: $BK = AB = 3$ см.

2. Аналогично рассмотрим треугольник $CDM$. Так как $AD \parallel BC$, то $?ADM$ и $?CMD$ являются накрест лежащими углами при секущей $DM$. Следовательно, $?ADM = ?CMD$. По определению биссектрисы, $DM$ делит угол $D$ пополам, поэтому $?ADM = ?CDM$. Из этого следует, что $?CMD = ?CDM$. Таким образом, треугольник $CDM$ является равнобедренным с основанием $DM$, а значит, его боковые стороны равны: $CM = CD = 3$ см.

3. Точки $K$ и $M$ лежат на стороне $BC$ и делят ее на три отрезка. Мы нашли длины двух крайних отрезков: $BK = 3$ см и $CM = 3$ см. Длина всей стороны $BC$ составляет 10 см. Чтобы найти длину среднего отрезка $KM$, нужно из длины всей стороны вычесть длины двух найденных отрезков:
$KM = BC - BK - CM = 10 \text{ см} - 3 \text{ см} - 3 \text{ см} = 4 \text{ см}$.

Следовательно, биссектрисы делят противоположную сторону на три отрезка, длины которых равны 3 см, 4 см и 3 см.

Ответ: длины отрезков равны 3 см, 4 см и 3 см.

523 Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам треугольника. Докажите, что периметр получившегося четырёхугольника равен сумме боковых сторон данного треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ \triangle ABC $ с основанием $ AC $ и равными боковыми сторонами $ AB $ и $ BC $, то есть $ AB = BC $. Возьмем на основании $ AC $ произвольную точку $ D $. Через точку $ D $ проведем прямую, параллельную боковой стороне $ AB $, до пересечения со стороной $ BC $ в точке $ E $. Получим $ DE \parallel AB $. Также через точку $ D $ проведем прямую, параллельную боковой стороне $ BC $, до пересечения со стороной $ AB $ в точке $ F $. Получим $ DF \parallel BC $.

Рассмотрим образовавшийся четырёхугольник $ FBED $. По построению его противоположные стороны попарно параллельны ($ DE \parallel FB $ и $ DF \parallel EB $). Четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны, является параллелограммом. Следовательно, $ FBED $ — параллелограмм.

Периметр параллелограмма $ FBED $ вычисляется как сумма длин всех его сторон: $ P_{FBED} = FB + BE + ED + DF $.

По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны: $ \angle BAC = \angle BCA $.

Рассмотрим $ \triangle AFD $. Угол $ \angle FAD $ этого треугольника совпадает с углом $ \angle BAC $ исходного треугольника. Так как $ DF \parallel BC $, то углы $ \angle FDA $ и $ \angle BCA $ равны как соответственные при параллельных прямых $ DF $ и $ BC $ и секущей $ AC $. Поскольку $ \angle BAC = \angle BCA $, то из этого следует, что $ \angle FAD = \angle FDA $. Треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным. Значит, $ \triangle AFD $ — равнобедренный, и его боковые стороны $ AF $ и $ DF $ равны: $ AF = DF $.

Аналогично рассмотрим $ \triangle DEC $. Угол $ \angle ECD $ этого треугольника совпадает с углом $ \angle BCA $. Так как $ DE \parallel AB $, то углы $ \angle EDC $ и $ \angle BAC $ равны как соответственные при параллельных прямых $ DE $ и $ AB $ и секущей $ AC $. Поскольку $ \angle BAC = \angle BCA $, то $ \angle EDC = \angle ECD $. Следовательно, $ \triangle DEC $ также является равнобедренным, и его боковые стороны $ DE $ и $ CE $ равны: $ DE = CE $.

Теперь подставим найденные равенства в формулу периметра параллелограмма $ FBED $: $ P_{FBED} = FB + BE + ED + DF $. Заменяем $ ED $ на $ CE $ и $ DF $ на $ AF $: $ P_{FBED} = FB + BE + CE + AF $.

Сгруппируем слагаемые следующим образом: $ P_{FBED} = (AF + FB) + (BE + CE) $.

Сумма длин отрезков $ AF + FB $ составляет длину боковой стороны $ AB $. Сумма длин отрезков $ BE + CE $ составляет длину боковой стороны $ BC $. Таким образом, мы получаем: $ P_{FBED} = AB + BC $.

Это доказывает, что периметр получившегося четырёхугольника равен сумме длин боковых сторон данного равнобедренного треугольника.

Ответ: Доказано, что периметр получившегося четырёхугольника равен сумме боковых сторон данного треугольника.

524 В параллелограмме, смежные стороны которого не равны, проведены биссектрисы углов. Докажите, что при их пересечении образуется прямоугольник.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, в котором по условию смежные стороны не равны ($AB \neq BC$). Проведем биссектрисы всех четырех углов. Пусть биссектрисы углов $\angle A$ и $\angle B$ пересекаются в точке $E$, биссектрисы углов $\angle B$ и $\angle C$ — в точке $F$, биссектрисы углов $\angle C$ и $\angle D$ — в точке $G$, а биссектрисы углов $\angle D$ и $\angle A$ — в точке $H$. Таким образом, образуется четырехугольник $EFGH$. Нам необходимо доказать, что $EFGH$ является прямоугольником.

Для доказательства того, что четырехугольник является прямоугольником, достаточно показать, что все его внутренние углы равны $90^\circ$.

Рассмотрим пересечение биссектрис углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, например, стороне $AB$. Этими углами являются $\angle A$ и $\angle B$. По свойству параллелограмма, сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$: $ \angle A + \angle B = 180^\circ $

Биссектрисы $AH$ и $BE$ делят углы $\angle A$ и $\angle B$ пополам. Рассмотрим треугольник $ABE$. Его углы $\angle EAB$ и $\angle EBA$ равны: $ \angle EAB = \frac{1}{2} \angle A $ $ \angle EBA = \frac{1}{2} \angle B $

Сумма углов в треугольнике $ABE$ равна $180^\circ$. Найдем угол $\angle AEB$: $ \angle AEB = 180^\circ - (\angle EAB + \angle EBA) $ $ \angle AEB = 180^\circ - \left(\frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle B\right) $ $ \angle AEB = 180^\circ - \frac{1}{2} (\angle A + \angle B) $ Подставим известное значение суммы углов $\angle A$ и $\angle B$: $ \angle AEB = 180^\circ - \frac{1}{2} (180^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ $

Угол $\angle AEB$ является одним из углов четырехугольника $EFGH$ (а именно, $\angle HEF$). Таким образом, мы доказали, что $\angle HEF = 90^\circ$.

Аналогичные рассуждения можно применить и к другим парам смежных углов параллелограмма:

• Для углов $\angle B$ и $\angle C$: $\angle B + \angle C = 180^\circ$. Биссектрисы этих углов пересекаются в точке $F$. В треугольнике $BFC$ угол $\angle BFC = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle B + \angle C) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Следовательно, $\angle EFG = 90^\circ$.
• Для углов $\angle C$ и $\angle D$: $\angle C + \angle D = 180^\circ$. Биссектрисы этих углов пересекаются в точке $G$. В треугольнике $CGD$ угол $\angle CGD = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle C + \angle D) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Следовательно, $\angle FGH = 90^\circ$.
• Для углов $\angle D$ и $\angle A$: $\angle D + \angle A = 180^\circ$. Биссектрисы этих углов пересекаются в точке $H$. В треугольнике $DHA$ угол $\angle DHA = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle D + \angle A) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Следовательно, $\angle GHE = 90^\circ$.

Поскольку все четыре угла ($\angle HEF$, $\angle EFG$, $\angle FGH$, $\angle GHE$) четырехугольника $EFGH$ равны $90^\circ$, по определению этот четырехугольник является прямоугольником. Условие неравенства смежных сторон необходимо для того, чтобы параллелограмм не был ромбом, в котором все биссектрисы пересеклись бы в одной точке.

Ответ: Мы доказали, что биссектрисы углов, прилежащих к каждой стороне параллелограмма, пересекаются под прямым углом. Таким образом, четырехугольник, образованный точками пересечения биссектрис, имеет четыре прямых угла, а значит, является прямоугольником, что и требовалось доказать.

525 Докажите, что выпуклый четырёхугольник является параллелограммом, если сумма углов, прилежащих к каждой из двух смежных сторон, равна 180°.

Пусть дан выпуклый четырёхугольник ABCD. По условию, сумма углов, прилежащих к каждой из двух смежных сторон, равна $180°$. Выберем смежные стороны AB и BC.

Для стороны AB прилежащими углами являются $\angle DAB$ и $\angle CBA$ (или $\angle A$ и $\angle B$). Их сумма равна $180°$.

$\angle A + \angle B = 180°$

Для стороны BC прилежащими углами являются $\angle CBA$ и $\angle DCB$ (или $\angle B$ и $\angle C$). Их сумма равна $180°$.

$\angle B + \angle C = 180°$

Доказательство:

1. Рассмотрим прямые, на которых лежат стороны AD и BC, и секущую AB. Углы $\angle A$ и $\angle B$ являются внутренними односторонними углами при этих прямых и секущей.

2. По условию, сумма этих углов $\angle A + \angle B = 180°$.

3. По признаку параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна $180°$, то прямые параллельны. Следовательно, $AD \parallel BC$.

4. Теперь рассмотрим прямые, на которых лежат стороны AB и DC, и секущую BC. Углы $\angle B$ и $\angle C$ являются внутренними односторонними углами при этих прямых и секущей.

5. По условию, сумма этих углов $\angle B + \angle C = 180°$.

6. Применяя тот же признак параллельности прямых, заключаем, что $AB \parallel DC$.

7. Таким образом, в четырёхугольнике ABCD противолежащие стороны попарно параллельны ($AD \parallel BC$ и $AB \parallel DC$).

8. Четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, по определению является параллелограммом.

Следовательно, данный четырёхугольник — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

526 Докажите, что выпуклый четырёхугольник является параллелограммом, если его противоположные углы попарно равны.

Пусть дан выпуклый четырёхугольник, у которого противоположные углы попарно равны. Обозначим его вершины как A, B, C, D. По условию, $?A = ?C$ и $?B = ?D$.

Сумма внутренних углов любого выпуклого четырёхугольника равна $360°$. Для данного четырёхугольника ABCD это означает: $?A + ?B + ?C + ?D = 360°$.

Используя условие равенства противоположных углов, заменим в этом выражении $?C$ на $?A$ и $?D$ на $?B$: $?A + ?B + ?A + ?B = 360°$.

Приведя подобные слагаемые, получим: $2?A + 2?B = 360°$.

Вынесем общий множитель 2 за скобки: $2(?A + ?B) = 360°$.

Разделим обе части равенства на 2: $?A + ?B = 180°$.

Рассмотрим стороны AD и BC и секущую AB. Углы $?A$ и $?B$ являются односторонними внутренними углами при этих прямых. Поскольку их сумма равна $180°$, по признаку параллельности прямых, прямые AD и BC параллельны, то есть $AD \parallel BC$.

Аналогично, так как $?A = ?C$, мы можем утверждать, что $?B + ?C = 180°$. Углы $?B$ и $?C$ являются односторонними внутренними углами при прямых AB и DC и секущей BC. Поскольку их сумма равна $180°$, прямые AB и DC параллельны, то есть $AB \parallel DC$.

Таким образом, в четырёхугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны ($AD \parallel BC$ и $AB \parallel DC$). По определению, четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом.

Ответ: Что и требовалось доказать.

527 Точка K — середина медианы AM треугольника ABC. Прямая ВK пересекает сторону АС в точке D. Докажите, что AD = 13AC.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом дополнительного построения.

Дано:

• Треугольник $ABC$.
• $AM$ — медиана ($M$ — середина $BC$).
• $K$ — середина медианы $AM$ ($AK = KM$).
• Прямая $BK$ пересекает $AC$ в точке $D$.

Доказать:

$AD = \frac{1}{3}AC$.

Доказательство:

1. Проведем через точку $M$ прямую, параллельную прямой $BD$. Пусть эта прямая пересекает сторону $AC$ в точке $E$. Таким образом, по построению $ME \parallel BD$.

2. Рассмотрим треугольник $CBD$. В нем отрезок $ME$ соединяет точку $M$ на стороне $BC$ с точкой $E$ на стороне $AC$. Так как $ME \parallel BD$ и $M$ является серединой стороны $BC$ (поскольку $AM$ — медиана), то по теореме Фалеса, отрезок $ME$ отсекает на стороне $CD$ отрезок $CE$, равный отрезку $DE$. То есть, точка $E$ является серединой отрезка $DC$. Следовательно, $DE = EC$.

3. Теперь рассмотрим треугольник $AME$. В нем отрезок $KD$ является частью прямой $BK$, а прямая $BK$ параллельна прямой $ME$ по нашему построению. Таким образом, $KD \parallel ME$. По условию задачи, точка $K$ является серединой стороны $AM$. Снова применяя теорему Фалеса, получаем, что прямая $KD$ отсекает на стороне $AE$ отрезок $AD$, равный отрезку $DE$. То есть, точка $D$ является серединой отрезка $AE$. Следовательно, $AD = DE$.

4. Сопоставим результаты, полученные в пунктах 2 и 3:

• $AD = DE$
• $DE = EC$

Из этого следует, что $AD = DE = EC$.

5. Сторона $AC$ состоит из трех отрезков: $AD$, $DE$ и $EC$. Мы можем записать ее длину как сумму длин этих отрезков:

$AC = AD + DE + EC$

Поскольку $DE = AD$ и $EC = AD$, мы можем заменить их в этом выражении:

$AC = AD + AD + AD = 3 \cdot AD$

6. Из полученного равенства $AC = 3 \cdot AD$ выражаем $AD$:

$AD = \frac{1}{3}AC$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что $AD = \frac{1}{3}AC$, доказано.

528 Точки М и N — середины сторон AD и ВС параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AN и МС делят диагональ BD на три равные части.

Пусть в параллелограмме $ABCD$ точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AD$ и $BC$ соответственно. Пусть прямая $AN$ пересекает диагональ $BD$ в точке $P$, а прямая $MC$ пересекает диагональ $BD$ в точке $Q$. Необходимо доказать, что отрезки $BP$, $PQ$ и $QD$ равны.

Для доказательства воспользуемся свойством медиан треугольника. Медианы треугольника пересекаются в одной точке (центроиде), которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$

Пусть диагонали параллелограмма $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По свойству параллелограмма, диагонали точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, точка $O$ — середина диагонали $AC$.

В треугольнике $ABC$:

• Отрезок $BO$ соединяет вершину $B$ с серединой противоположной стороны $AC$, значит, $BO$ — медиана $\triangle ABC$.
• По условию, $N$ — середина стороны $BC$. Отрезок $AN$ соединяет вершину $A$ с серединой противоположной стороны $BC$, значит, $AN$ — также медиана $\triangle ABC$.

Точка $P$ является точкой пересечения медиан $AN$ и $BO$ (так как $P$ лежит на $BD$, а $BO$ — это часть $BD$). Следовательно, $P$ — центроид треугольника $ABC$.

По свойству центроида, он делит медиану $BO$ в отношении $2:1$, считая от вершины $B$. То есть: $BP : PO = 2:1$, или $BP = \frac{2}{3}BO$.

Так как $O$ — середина всей диагонали $BD$, то $BO = \frac{1}{2}BD$.

Подставим значение $BO$ в предыдущее равенство: $BP = \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{2}BD) = \frac{1}{3}BD$.

2. Рассмотрим треугольник $ADC$

Аналогично, в треугольнике $ADC$:

• Отрезок $DO$ соединяет вершину $D$ с серединой противоположной стороны $AC$, значит, $DO$ — медиана $\triangle ADC$.
• По условию, $M$ — середина стороны $AD$. Отрезок $CM$ соединяет вершину $C$ с серединой противоположной стороны $AD$, значит, $CM$ — также медиана $\triangle ADC$.

Точка $Q$ является точкой пересечения медиан $CM$ и $DO$. Следовательно, $Q$ — центроид треугольника $ADC$.

По свойству центроида, он делит медиану $DO$ в отношении $2:1$, считая от вершины $D$. То есть: $DQ : QO = 2:1$, или $DQ = \frac{2}{3}DO$.

Так как $O$ — середина всей диагонали $BD$, то $DO = \frac{1}{2}BD$.

Подставим значение $DO$ в предыдущее равенство: $DQ = \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{2}BD) = \frac{1}{3}BD$.

3. Заключение

Мы установили, что длина отрезка $BP$ составляет треть длины диагонали $BD$, и длина отрезка $DQ$ также составляет треть длины диагонали $BD$. $BP = \frac{1}{3}BD$ $DQ = \frac{1}{3}BD$

Найдем длину оставшегося отрезка $PQ$: $PQ = BD - BP - DQ = BD - \frac{1}{3}BD - \frac{1}{3}BD = \frac{1}{3}BD$.

Таким образом, мы получили, что $BP = PQ = DQ = \frac{1}{3}BD$. Это означает, что прямые $AN$ и $MC$ делят диагональ $BD$ на три равные части.

Ответ: Что и требовалось доказать.

529 Из вершины В ромба ABCD проведены перпендикуляры ВK и ВМ к прямым AD и DC. Докажите, что луч BD является биссектрисой угла KВМ.

Дано:
$ABCD$ — ромб.
$BK$ и $BM$ — перпендикуляры, проведенные из вершины $B$ к прямым $AD$ и $DC$ соответственно.
$BK \perp AD$, $BM \perp DC$.

Доказать:
Луч $BD$ является биссектрисой угла $KBM$.

Доказательство:
1. Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.
По определению ромба все его стороны равны, следовательно, $AB = CB$ и $AD = CD$. Сторона $BD$ является общей для этих треугольников. Таким образом, $\triangle ABD = \triangle CBD$ по трем сторонам (признак SSS).

2. Так как треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$ равны, то равны и их площади: $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle CBD}$.

3. Площадь треугольника можно найти как половину произведения его основания на высоту.
Для $\triangle ABD$ основание — $AD$, а высота, проведенная к этому основанию (или его продолжению), — $BK$. Значит, $S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} AD \cdot BK$.
Для $\triangle CBD$ основание — $DC$, а высота, проведенная к этому основанию (или его продолжению), — $BM$. Значит, $S_{\triangle CBD} = \frac{1}{2} DC \cdot BM$.

4. Приравняем выражения для площадей: $\frac{1}{2} AD \cdot BK = \frac{1}{2} DC \cdot BM$.
Поскольку $AD = DC$ (как стороны ромба), мы можем сократить обе части уравнения на $\frac{1}{2} AD$ (или $\frac{1}{2} DC$), получив $BK = BM$.

5. Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle BKD$ и $\triangle BMD$.
Они являются прямоугольными, так как по условию $BK \perp AD$ и $BM \perp DC$, что означает $\angle BKD = 90^\circ$ и $\angle BMD = 90^\circ$.
В этих треугольниках:
- $BD$ — общая гипотенуза.
- $BK = BM$ — катеты, равенство которых мы доказали в предыдущем пункте.

6. Следовательно, $\triangle BKD = \triangle BMD$ по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету).

7. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle KBD = \angle MBD$.
Это означает, что луч $BD$ делит угол $KBM$ на два равных угла, то есть является его биссектрисой.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Луч $BD$ является биссектрисой угла $KBM$, так как он делит его на два равных угла $\angle KBD$ и $\angle MBD$ в силу равенства прямоугольных треугольников $\triangle BKD$ и $\triangle BMD$.

530 Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон.

Пусть дан ромб $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Расстояние от точки до стороны определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную сторону. Нам необходимо доказать, что точка $O$ равноудалена от сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$.

Опустим перпендикуляры из точки $O$ на стороны ромба: $OK \perp AB$, $OL \perp BC$, $OM \perp CD$ и $ON \perp DA$. Требуется доказать, что длины этих перпендикуляров равны, то есть $OK = OL = OM = ON$.

Доказательство:

Рассмотрим четыре треугольника, которые образуются при пересечении диагоналей ромба: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$.

Используем свойства ромба:
1. Все стороны ромба равны: $AB = BC = CD = DA$.
2. Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам: $AO = OC$ и $BO = OD$.

Сравним эти четыре треугольника. Например, рассмотрим $\triangle AOB$ и $\triangle BOC$:

• $AB = BC$ (как стороны одного ромба).
• $AO = OC$ (по свойству диагоналей ромба).
• $BO$ — общая сторона.

Следовательно, $\triangle AOB = \triangle BOC$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Аналогично доказывается, что все четыре треугольника равны между собой: $\triangle AOB = \triangle BOC = \triangle COD = \triangle DOA$.

Перпендикуляры $OK$, $OL$, $OM$ и $ON$ являются высотами в этих треугольниках, проведенными из общей вершины $O$ к сторонам ромба.

Поскольку треугольники равны, то и их соответствующие элементы равны. Высоты, проведенные к равным сторонам ($AB = BC = CD = DA$), также должны быть равны.

Таким образом, $OK = OL = OM = ON$. Это означает, что точка пересечения диагоналей $O$ равноудалена от всех сторон ромба.

Ответ: Что и требовалось доказать.

531 Докажите, что середина отрезка, соединяющего вершину треугольника с любой точкой противоположной стороны, лежит на отрезке с концами в серединах двух других сторон.

Пусть дан треугольник $ABC$. Пусть $E$ — середина стороны $AB$, а $F$ — середина стороны $AC$. Отрезок $EF$ является средней линией треугольника $ABC$.

Пусть $D$ — произвольная точка на стороне $BC$. Проведем отрезок $AD$, соединяющий вершину $A$ с точкой $D$. Пусть $M$ — середина отрезка $AD$.

Требуется доказать, что точка $M$ лежит на отрезке $EF$.

1. Рассмотрим треугольник $ABD$. В нем точка $E$ является серединой стороны $AB$ (по определению), а точка $M$ — серединой стороны $AD$ (по определению). Следовательно, отрезок $EM$ является средней линией треугольника $ABD$.

По свойству средней линии, отрезок $EM$ параллелен стороне $BD$ и его длина равна половине длины этой стороны: $EM \parallel BD$ и $EM = \frac{1}{2}BD$.

2. Аналогично рассмотрим треугольник $ACD$. В нем точка $F$ является серединой стороны $AC$ (по определению), а точка $M$ — серединой стороны $AD$ (по определению). Следовательно, отрезок $FM$ является средней линией треугольника $ACD$.

По свойству средней линии, отрезок $FM$ параллелен стороне $DC$ и его длина равна половине длины этой стороны: $FM \parallel DC$ и $FM = \frac{1}{2}DC$.

3. Так как точка $D$ лежит на стороне $BC$, то прямые $BD$ и $DC$ совпадают с прямой $BC$. Из этого следует, что $EM \parallel BC$ и $FM \parallel BC$.

Согласно аксиоме о параллельных прямых, через точку $M$ может проходить только одна прямая, параллельная прямой $BC$. Так как и прямая, содержащая отрезок $EM$, и прямая, содержащая отрезок $FM$, проходят через точку $M$ и параллельны $BC$, эти прямые должны совпадать. Это означает, что точки $E, M, F$ лежат на одной прямой (коллинеарны).

4. Теперь докажем, что точка $M$ лежит именно на отрезке $EF$. Так как точка $D$ лежит на отрезке $BC$, то длина отрезка $BC$ равна сумме длин отрезков $BD$ и $DC$: $BC = BD + DC$.

Длина средней линии $EF$ треугольника $ABC$ равна половине длины стороны $BC$: $EF = \frac{1}{2}BC$.

Сложим длины отрезков $EM$ и $FM$, используя ранее полученные равенства: $EM + FM = \frac{1}{2}BD + \frac{1}{2}DC = \frac{1}{2}(BD + DC)$.

Подставив $BC = BD + DC$, получаем: $EM + FM = \frac{1}{2}BC$.

Таким образом, мы получили, что $EM + FM = EF$. Так как точки $E, M, F$ лежат на одной прямой и сумма длин отрезков $EM$ и $FM$ равна длине отрезка $EF$, то точка $M$ лежит между точками $E$ и $F$. Следовательно, точка $M$ принадлежит отрезку $EF$.

Ответ: Утверждение доказано.

532 Диагональ АС квадрата ABCD равна 18,4 см. Прямая, проходящая через точку А и перпендикулярная к прямой АС, пересекает прямые ВС и CD соответственно в точках М и N. Найдите MN.

По свойству квадрата $ABCD$, его диагонали перпендикулярны друг другу. Таким образом, диагональ $BD$ перпендикулярна диагонали $AC$.

$BD \perp AC$

По условию задачи, прямая, содержащая отрезок $MN$, проходит через точку $A$ и перпендикулярна прямой $AC$.

$MN \perp AC$

Так как две прямые ($MN$ и $BD$) перпендикулярны третьей прямой ($AC$), они параллельны между собой.

$MN \parallel BD$

Рассмотрим угол $\angle MCN$ (который совпадает с углом $\angle BCD$). Стороны этого угла, прямые $BC$ и $CD$, пересечены двумя параллельными прямыми $MN$ и $BD$. По теореме о подобных треугольниках (или обобщенной теореме Фалеса), треугольники $\triangle CMN$ и $\triangle CBD$ подобны.

$\triangle CMN \sim \triangle CBD$

Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответственных сторон:

$k = \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB} = \frac{CN}{CD}$

Коэффициент подобия также равен отношению длин соответственных отрезков, проведенных из общей вершины $C$. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата. $O$ является серединой диагонали $AC$. Прямая $AC$ пересекает сторону $BD$ треугольника $\triangle CBD$ в точке $O$ и сторону $MN$ треугольника $\triangle CMN$ в точке $A$. Следовательно, отношение отрезков $CA$ и $CO$ равно коэффициенту подобия:

$k = \frac{CA}{CO}$

Поскольку $O$ — середина $AC$, то $CA = 2 \cdot CO$. Найдем коэффициент подобия:

$k = \frac{2 \cdot CO}{CO} = 2$

Теперь, зная коэффициент подобия, мы можем найти длину $MN$:

$\frac{MN}{BD} = k = 2 \implies MN = 2 \cdot BD$

В квадрате диагонали равны, то есть $BD = AC$. Поэтому:

$MN = 2 \cdot AC$

Подставим известное значение $AC = 18,4$ см:

$MN = 2 \cdot 18,4 = 36,8$ см.

Ответ: 36,8 см.