Номер 523, страница 137 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Глава 6. Четырехугольники - номер 523, страница 137.

523 Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам треугольника. Докажите, что периметр получившегося четырёхугольника равен сумме боковых сторон данного треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ \triangle ABC $ с основанием $ AC $ и равными боковыми сторонами $ AB $ и $ BC $, то есть $ AB = BC $. Возьмем на основании $ AC $ произвольную точку $ D $. Через точку $ D $ проведем прямую, параллельную боковой стороне $ AB $, до пересечения со стороной $ BC $ в точке $ E $. Получим $ DE \parallel AB $. Также через точку $ D $ проведем прямую, параллельную боковой стороне $ BC $, до пересечения со стороной $ AB $ в точке $ F $. Получим $ DF \parallel BC $.

Рассмотрим образовавшийся четырёхугольник $ FBED $. По построению его противоположные стороны попарно параллельны ($ DE \parallel FB $ и $ DF \parallel EB $). Четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны, является параллелограммом. Следовательно, $ FBED $ — параллелограмм.

Периметр параллелограмма $ FBED $ вычисляется как сумма длин всех его сторон: $ P_{FBED} = FB + BE + ED + DF $.

По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны: $ \angle BAC = \angle BCA $.

Рассмотрим $ \triangle AFD $. Угол $ \angle FAD $ этого треугольника совпадает с углом $ \angle BAC $ исходного треугольника. Так как $ DF \parallel BC $, то углы $ \angle FDA $ и $ \angle BCA $ равны как соответственные при параллельных прямых $ DF $ и $ BC $ и секущей $ AC $. Поскольку $ \angle BAC = \angle BCA $, то из этого следует, что $ \angle FAD = \angle FDA $. Треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным. Значит, $ \triangle AFD $ — равнобедренный, и его боковые стороны $ AF $ и $ DF $ равны: $ AF = DF $.

Аналогично рассмотрим $ \triangle DEC $. Угол $ \angle ECD $ этого треугольника совпадает с углом $ \angle BCA $. Так как $ DE \parallel AB $, то углы $ \angle EDC $ и $ \angle BAC $ равны как соответственные при параллельных прямых $ DE $ и $ AB $ и секущей $ AC $. Поскольку $ \angle BAC = \angle BCA $, то $ \angle EDC = \angle ECD $. Следовательно, $ \triangle DEC $ также является равнобедренным, и его боковые стороны $ DE $ и $ CE $ равны: $ DE = CE $.

Теперь подставим найденные равенства в формулу периметра параллелограмма $ FBED $: $ P_{FBED} = FB + BE + ED + DF $. Заменяем $ ED $ на $ CE $ и $ DF $ на $ AF $: $ P_{FBED} = FB + BE + CE + AF $.

Сгруппируем слагаемые следующим образом: $ P_{FBED} = (AF + FB) + (BE + CE) $.

Сумма длин отрезков $ AF + FB $ составляет длину боковой стороны $ AB $. Сумма длин отрезков $ BE + CE $ составляет длину боковой стороны $ BC $. Таким образом, мы получаем: $ P_{FBED} = AB + BC $.

Это доказывает, что периметр получившегося четырёхугольника равен сумме длин боковых сторон данного равнобедренного треугольника.

Ответ: Доказано, что периметр получившегося четырёхугольника равен сумме боковых сторон данного треугольника.