Номер 529, страница 137 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Глава 6. Четырехугольники - номер 529, страница 137.

529 Из вершины В ромба ABCD проведены перпендикуляры ВK и ВМ к прямым AD и DC. Докажите, что луч BD является биссектрисой угла KВМ.

Дано:
$ABCD$ — ромб.
$BK$ и $BM$ — перпендикуляры, проведенные из вершины $B$ к прямым $AD$ и $DC$ соответственно.
$BK \perp AD$, $BM \perp DC$.

Доказать:
Луч $BD$ является биссектрисой угла $KBM$.

Доказательство:
1. Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.
По определению ромба все его стороны равны, следовательно, $AB = CB$ и $AD = CD$. Сторона $BD$ является общей для этих треугольников. Таким образом, $\triangle ABD = \triangle CBD$ по трем сторонам (признак SSS).

2. Так как треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$ равны, то равны и их площади: $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle CBD}$.

3. Площадь треугольника можно найти как половину произведения его основания на высоту.
Для $\triangle ABD$ основание — $AD$, а высота, проведенная к этому основанию (или его продолжению), — $BK$. Значит, $S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} AD \cdot BK$.
Для $\triangle CBD$ основание — $DC$, а высота, проведенная к этому основанию (или его продолжению), — $BM$. Значит, $S_{\triangle CBD} = \frac{1}{2} DC \cdot BM$.

4. Приравняем выражения для площадей: $\frac{1}{2} AD \cdot BK = \frac{1}{2} DC \cdot BM$.
Поскольку $AD = DC$ (как стороны ромба), мы можем сократить обе части уравнения на $\frac{1}{2} AD$ (или $\frac{1}{2} DC$), получив $BK = BM$.

5. Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle BKD$ и $\triangle BMD$.
Они являются прямоугольными, так как по условию $BK \perp AD$ и $BM \perp DC$, что означает $\angle BKD = 90^\circ$ и $\angle BMD = 90^\circ$.
В этих треугольниках:
- $BD$ — общая гипотенуза.
- $BK = BM$ — катеты, равенство которых мы доказали в предыдущем пункте.

6. Следовательно, $\triangle BKD = \triangle BMD$ по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету).

7. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle KBD = \angle MBD$.
Это означает, что луч $BD$ делит угол $KBM$ на два равных угла, то есть является его биссектрисой.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Луч $BD$ является биссектрисой угла $KBM$, так как он делит его на два равных угла $\angle KBD$ и $\angle MBD$ в силу равенства прямоугольных треугольников $\triangle BKD$ и $\triangle BMD$.