Номер 535, страница 138 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Глава 6. Четырехугольники - номер 535, страница 138.

535* Сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности.

Дано:
Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем $AD \parallel BC$. Пусть $M$ — середина меньшего основания $BC$, а $N$ — середина большего основания $AD$. Сумма углов при одном из оснований равна $90^\circ$. Без ограничения общности, пусть это будет большее основание $AD$. Таким образом, $\angle DAB + \angle CDA = 90^\circ$.

Доказать:
Длина отрезка $MN$, соединяющего середины оснований, равна их полуразности: $MN = \frac{AD - BC}{2}$.

Доказательство:
1. Продолжим боковые стороны трапеции $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $P$. Поскольку сумма углов $\angle A$ и $\angle D$ не равна $180^\circ$, боковые стороны не параллельны и обязательно пересекутся.

2. Рассмотрим треугольник $APD$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Угол при вершине $P$ будет равен: $\angle APD = 180^\circ - (\angle PAD + \angle PDA)$. Поскольку $\angle PAD = \angle DAB$ и $\angle PDA = \angle CDA$, а их сумма по условию равна $90^\circ$, получаем: $\angle APD = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $APD$ является прямоугольным.

3. Так как $BC \parallel AD$, то треугольник $BPC$ подобен треугольнику $APD$ (по двум углам, например $\angle APD$ общий и $\angle PBC = \angle PAD$ как соответственные углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AP$). Из подобия следует, что $\angle BPC = \angle APD = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $BPC$ также является прямоугольным.

4. В прямоугольном треугольнике $APD$ отрезок $PN$ соединяет вершину прямого угла $P$ с серединой гипотенузы $AD$. Следовательно, $PN$ является медианой, проведенной к гипотенузе. По свойству медианы прямоугольного треугольника, ее длина равна половине гипотенузы: $PN = \frac{1}{2} AD$.

5. Аналогично, в прямоугольном треугольнике $BPC$ отрезок $PM$ является медианой, проведенной к гипотенузе $BC$. Его длина равна: $PM = \frac{1}{2} BC$.

6. Из подобия треугольников $BPC$ и $APD$ с центром подобия в точке $P$ следует, что точка $M$ (середина $BC$) переходит в точку $N$ (середину $AD$). Это означает, что точки $P$, $M$ и $N$ лежат на одной прямой. Так как $AD > BC$, точка $M$ лежит между точками $P$ и $N$. Длина отрезка $MN$ может быть найдена как разность длин отрезков $PN$ и $PM$: $MN = PN - PM$.

7. Подставим выражения для $PN$ и $PM$, полученные в пунктах 4 и 5: $MN = \frac{1}{2} AD - \frac{1}{2} BC = \frac{AD - BC}{2}$.

Таким образом, мы доказали, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности. Если бы сумма углов при меньшем основании была равна $90^\circ$, доказательство было бы аналогичным.

Ответ: Доказано, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности: $MN = \frac{AD - BC}{2}$.