Номер 532, страница 137 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Четырехугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Дополнительные задачи - номер 532, страница 137.

Условие.

532 Диагональ АС квадрата ABCD равна 18,4 см. Прямая, проходящая через точку А и перпендикулярная к прямой АС, пересекает прямые ВС и CD соответственно в точках М и N. Найдите MN.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 11.

По свойству квадрата $ABCD$, его диагонали перпендикулярны друг другу. Таким образом, диагональ $BD$ перпендикулярна диагонали $AC$.

$BD \perp AC$

По условию задачи, прямая, содержащая отрезок $MN$, проходит через точку $A$ и перпендикулярна прямой $AC$.

$MN \perp AC$

Так как две прямые ($MN$ и $BD$) перпендикулярны третьей прямой ($AC$), они параллельны между собой.

$MN \parallel BD$

Рассмотрим угол $\angle MCN$ (который совпадает с углом $\angle BCD$). Стороны этого угла, прямые $BC$ и $CD$, пересечены двумя параллельными прямыми $MN$ и $BD$. По теореме о подобных треугольниках (или обобщенной теореме Фалеса), треугольники $\triangle CMN$ и $\triangle CBD$ подобны.

$\triangle CMN \sim \triangle CBD$

Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответственных сторон:

$k = \frac{MN}{BD} = \frac{CM}{CB} = \frac{CN}{CD}$

Коэффициент подобия также равен отношению длин соответственных отрезков, проведенных из общей вершины $C$. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата. $O$ является серединой диагонали $AC$. Прямая $AC$ пересекает сторону $BD$ треугольника $\triangle CBD$ в точке $O$ и сторону $MN$ треугольника $\triangle CMN$ в точке $A$. Следовательно, отношение отрезков $CA$ и $CO$ равно коэффициенту подобия:

$k = \frac{CA}{CO}$

Поскольку $O$ — середина $AC$, то $CA = 2 \cdot CO$. Найдем коэффициент подобия:

$k = \frac{2 \cdot CO}{CO} = 2$

Теперь, зная коэффициент подобия, мы можем найти длину $MN$:

$\frac{MN}{BD} = k = 2 \implies MN = 2 \cdot BD$

В квадрате диагонали равны, то есть $BD = AC$. Поэтому:

$MN = 2 \cdot AC$

Подставим известное значение $AC = 18,4$ см:

$MN = 2 \cdot 18,4 = 36,8$ см.

Ответ: 36,8 см.