Номер 528, страница 137 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Глава 6. Четырехугольники - номер 528, страница 137.

528 Точки М и N — середины сторон AD и ВС параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AN и МС делят диагональ BD на три равные части.

Пусть в параллелограмме $ABCD$ точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AD$ и $BC$ соответственно. Пусть прямая $AN$ пересекает диагональ $BD$ в точке $P$, а прямая $MC$ пересекает диагональ $BD$ в точке $Q$. Необходимо доказать, что отрезки $BP$, $PQ$ и $QD$ равны.

Для доказательства воспользуемся свойством медиан треугольника. Медианы треугольника пересекаются в одной точке (центроиде), которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$

Пусть диагонали параллелограмма $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По свойству параллелограмма, диагонали точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, точка $O$ — середина диагонали $AC$.

В треугольнике $ABC$:

• Отрезок $BO$ соединяет вершину $B$ с серединой противоположной стороны $AC$, значит, $BO$ — медиана $\triangle ABC$.
• По условию, $N$ — середина стороны $BC$. Отрезок $AN$ соединяет вершину $A$ с серединой противоположной стороны $BC$, значит, $AN$ — также медиана $\triangle ABC$.

Точка $P$ является точкой пересечения медиан $AN$ и $BO$ (так как $P$ лежит на $BD$, а $BO$ — это часть $BD$). Следовательно, $P$ — центроид треугольника $ABC$.

По свойству центроида, он делит медиану $BO$ в отношении $2:1$, считая от вершины $B$. То есть: $BP : PO = 2:1$, или $BP = \frac{2}{3}BO$.

Так как $O$ — середина всей диагонали $BD$, то $BO = \frac{1}{2}BD$.

Подставим значение $BO$ в предыдущее равенство: $BP = \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{2}BD) = \frac{1}{3}BD$.

2. Рассмотрим треугольник $ADC$

Аналогично, в треугольнике $ADC$:

• Отрезок $DO$ соединяет вершину $D$ с серединой противоположной стороны $AC$, значит, $DO$ — медиана $\triangle ADC$.
• По условию, $M$ — середина стороны $AD$. Отрезок $CM$ соединяет вершину $C$ с серединой противоположной стороны $AD$, значит, $CM$ — также медиана $\triangle ADC$.

Точка $Q$ является точкой пересечения медиан $CM$ и $DO$. Следовательно, $Q$ — центроид треугольника $ADC$.

По свойству центроида, он делит медиану $DO$ в отношении $2:1$, считая от вершины $D$. То есть: $DQ : QO = 2:1$, или $DQ = \frac{2}{3}DO$.

Так как $O$ — середина всей диагонали $BD$, то $DO = \frac{1}{2}BD$.

Подставим значение $DO$ в предыдущее равенство: $DQ = \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{2}BD) = \frac{1}{3}BD$.

3. Заключение

Мы установили, что длина отрезка $BP$ составляет треть длины диагонали $BD$, и длина отрезка $DQ$ также составляет треть длины диагонали $BD$. $BP = \frac{1}{3}BD$ $DQ = \frac{1}{3}BD$

Найдем длину оставшегося отрезка $PQ$: $PQ = BD - BP - DQ = BD - \frac{1}{3}BD - \frac{1}{3}BD = \frac{1}{3}BD$.

Таким образом, мы получили, что $BP = PQ = DQ = \frac{1}{3}BD$. Это означает, что прямые $AN$ и $MC$ делят диагональ $BD$ на три равные части.

Ответ: Что и требовалось доказать.