Номер 521, страница 137 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Четырехугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Дополнительные задачи - номер 521, страница 137.

Условие.

521 Периметр параллелограмма ABCD равен 46 см, AB = 14 см. Какую сторону параллелограмма пересекает биссектриса угла А? Найдите отрезки, которые образуются при этом пересечении.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 11.

По условию задачи, нам дан параллелограмм $ABCD$ с периметром $P = 46$ см и стороной $AB = 14$ см.

1. Сначала найдем длину смежной стороны $AD$. Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме двух смежных сторон: $P = 2(AB + AD)$. Подставив известные значения, получим: $46 = 2(14 + AD)$ Разделим обе части уравнения на 2: $23 = 14 + AD$ Отсюда находим длину стороны $AD$: $AD = 23 - 14 = 9$ см.

В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому: $AB = CD = 14$ см $AD = BC = 9$ см.

Какую сторону параллелограмма пересекает биссектриса угла А?

Пусть $AK$ — биссектриса угла $A$. По определению биссектрисы, $\angle DAK = \angle BAK$. Биссектриса, выходящая из вершины $A$, может пересечь либо сторону $BC$, либо сторону $CD$.

Предположим, что биссектриса пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Рассмотрим прямые $AD$ и $BC$. Они параллельны ($AD \parallel BC$), а $AK$ является секущей. Следовательно, накрест лежащие углы $\angle DAK$ и $\angle BKA$ равны. Поскольку $AK$ — биссектриса, то $\angle DAK = \angle BAK$. Из этих двух равенств следует, что $\angle BAK = \angle BKA$. Это означает, что треугольник $\triangle ABK$ является равнобедренным с основанием $AK$, а значит, его боковые стороны равны: $BK = AB$. Так как $AB = 14$ см, то и $BK$ должно быть равно 14 см. Однако длина стороны $BC$ равна 9 см. Так как $BK > BC$ ($14 > 9$), точка $K$ не может принадлежать отрезку $BC$. Наше предположение неверно.

Следовательно, биссектриса угла $A$ пересекает сторону $CD$. Проверим это. Пусть биссектриса пересекает сторону $CD$ в точке $K$. Рассмотрим параллельные прямые $AB$ и $CD$ и секущую $AK$. Накрест лежащие углы $\angle BAK$ и $\angle AKD$ равны. Так как $AK$ — биссектриса, $\angle DAK = \angle BAK$. Отсюда следует, что $\angle DAK = \angle AKD$. Значит, треугольник $\triangle ADK$ является равнобедренным с основанием $AK$, и его боковые стороны равны: $DK = AD$. Поскольку $AD = 9$ см, то $DK = 9$ см. Длина стороны $CD$ равна 14 см. Так как $DK < CD$ ($9 < 14$), точка $K$ действительно лежит на отрезке $CD$.

Ответ: биссектриса угла $A$ пересекает сторону $CD$.

Найдите отрезки, которые образуются при этом пересечении.

Мы установили, что биссектриса угла $A$ пересекает сторону $CD$ в точке $K$. Таким образом, сторона $CD$ делится на два отрезка: $CK$ и $KD$.

Из рассмотрения равнобедренного треугольника $\triangle ADK$ мы выяснили, что длина отрезка $KD$ равна длине стороны $AD$: $KD = AD = 9$ см.

Длина всей стороны $CD$ равна 14 см. Длину второго отрезка, $CK$, можно найти, вычтя из длины всей стороны длину отрезка $KD$: $CK = CD - KD = 14 - 9 = 5$ см.

Таким образом, биссектриса делит сторону $CD$ на два отрезка.

Ответ: отрезки, которые образуются при пересечении, равны 9 см и 5 см.