Номер 521, страница 137 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Глава 6. Четырехугольники - номер 521, страница 137.

521 Периметр параллелограмма ABCD равен 46 см, AB = 14 см. Какую сторону параллелограмма пересекает биссектриса угла А? Найдите отрезки, которые образуются при этом пересечении.

По условию задачи, нам дан параллелограмм $ABCD$ с периметром $P = 46$ см и стороной $AB = 14$ см.

1. Сначала найдем длину смежной стороны $AD$. Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме двух смежных сторон: $P = 2(AB + AD)$. Подставив известные значения, получим: $46 = 2(14 + AD)$ Разделим обе части уравнения на 2: $23 = 14 + AD$ Отсюда находим длину стороны $AD$: $AD = 23 - 14 = 9$ см.

В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому: $AB = CD = 14$ см $AD = BC = 9$ см.

Какую сторону параллелограмма пересекает биссектриса угла А?

Пусть $AK$ — биссектриса угла $A$. По определению биссектрисы, $\angle DAK = \angle BAK$. Биссектриса, выходящая из вершины $A$, может пересечь либо сторону $BC$, либо сторону $CD$.

Предположим, что биссектриса пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Рассмотрим прямые $AD$ и $BC$. Они параллельны ($AD \parallel BC$), а $AK$ является секущей. Следовательно, накрест лежащие углы $\angle DAK$ и $\angle BKA$ равны. Поскольку $AK$ — биссектриса, то $\angle DAK = \angle BAK$. Из этих двух равенств следует, что $\angle BAK = \angle BKA$. Это означает, что треугольник $\triangle ABK$ является равнобедренным с основанием $AK$, а значит, его боковые стороны равны: $BK = AB$. Так как $AB = 14$ см, то и $BK$ должно быть равно 14 см. Однако длина стороны $BC$ равна 9 см. Так как $BK > BC$ ($14 > 9$), точка $K$ не может принадлежать отрезку $BC$. Наше предположение неверно.

Следовательно, биссектриса угла $A$ пересекает сторону $CD$. Проверим это. Пусть биссектриса пересекает сторону $CD$ в точке $K$. Рассмотрим параллельные прямые $AB$ и $CD$ и секущую $AK$. Накрест лежащие углы $\angle BAK$ и $\angle AKD$ равны. Так как $AK$ — биссектриса, $\angle DAK = \angle BAK$. Отсюда следует, что $\angle DAK = \angle AKD$. Значит, треугольник $\triangle ADK$ является равнобедренным с основанием $AK$, и его боковые стороны равны: $DK = AD$. Поскольку $AD = 9$ см, то $DK = 9$ см. Длина стороны $CD$ равна 14 см. Так как $DK < CD$ ($9 < 14$), точка $K$ действительно лежит на отрезке $CD$.

Ответ: биссектриса угла $A$ пересекает сторону $CD$.

Найдите отрезки, которые образуются при этом пересечении.

Мы установили, что биссектриса угла $A$ пересекает сторону $CD$ в точке $K$. Таким образом, сторона $CD$ делится на два отрезка: $CK$ и $KD$.

Из рассмотрения равнобедренного треугольника $\triangle ADK$ мы выяснили, что длина отрезка $KD$ равна длине стороны $AD$: $KD = AD = 9$ см.

Длина всей стороны $CD$ равна 14 см. Длину второго отрезка, $CK$, можно найти, вычтя из длины всей стороны длину отрезка $KD$: $CK = CD - KD = 14 - 9 = 5$ см.

Таким образом, биссектриса делит сторону $CD$ на два отрезка.

Ответ: отрезки, которые образуются при пересечении, равны 9 см и 5 см.