Номер 525, страница 137 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 6. Четырехугольники. Параграф 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Дополнительные задачи - номер 525, страница 137.

Условие.

525 Докажите, что выпуклый четырёхугольник является параллелограммом, если сумма углов, прилежащих к каждой из двух смежных сторон, равна 180°.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 11.

Пусть дан выпуклый четырёхугольник ABCD. По условию, сумма углов, прилежащих к каждой из двух смежных сторон, равна $180°$. Выберем смежные стороны AB и BC.

Для стороны AB прилежащими углами являются $\angle DAB$ и $\angle CBA$ (или $\angle A$ и $\angle B$). Их сумма равна $180°$.

$\angle A + \angle B = 180°$

Для стороны BC прилежащими углами являются $\angle CBA$ и $\angle DCB$ (или $\angle B$ и $\angle C$). Их сумма равна $180°$.

$\angle B + \angle C = 180°$

Доказательство:

1. Рассмотрим прямые, на которых лежат стороны AD и BC, и секущую AB. Углы $\angle A$ и $\angle B$ являются внутренними односторонними углами при этих прямых и секущей.

2. По условию, сумма этих углов $\angle A + \angle B = 180°$.

3. По признаку параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна $180°$, то прямые параллельны. Следовательно, $AD \parallel BC$.

4. Теперь рассмотрим прямые, на которых лежат стороны AB и DC, и секущую BC. Углы $\angle B$ и $\angle C$ являются внутренними односторонними углами при этих прямых и секущей.

5. По условию, сумма этих углов $\angle B + \angle C = 180°$.

6. Применяя тот же признак параллельности прямых, заключаем, что $AB \parallel DC$.

7. Таким образом, в четырёхугольнике ABCD противолежащие стороны попарно параллельны ($AD \parallel BC$ и $AB \parallel DC$).

8. Четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, по определению является параллелограммом.

Следовательно, данный четырёхугольник — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.