Номер 531, страница 137 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Глава 6. Четырехугольники - номер 531, страница 137.

531 Докажите, что середина отрезка, соединяющего вершину треугольника с любой точкой противоположной стороны, лежит на отрезке с концами в серединах двух других сторон.

Пусть дан треугольник $ABC$. Пусть $E$ — середина стороны $AB$, а $F$ — середина стороны $AC$. Отрезок $EF$ является средней линией треугольника $ABC$.

Пусть $D$ — произвольная точка на стороне $BC$. Проведем отрезок $AD$, соединяющий вершину $A$ с точкой $D$. Пусть $M$ — середина отрезка $AD$.

Требуется доказать, что точка $M$ лежит на отрезке $EF$.

1. Рассмотрим треугольник $ABD$. В нем точка $E$ является серединой стороны $AB$ (по определению), а точка $M$ — серединой стороны $AD$ (по определению). Следовательно, отрезок $EM$ является средней линией треугольника $ABD$.

По свойству средней линии, отрезок $EM$ параллелен стороне $BD$ и его длина равна половине длины этой стороны: $EM \parallel BD$ и $EM = \frac{1}{2}BD$.

2. Аналогично рассмотрим треугольник $ACD$. В нем точка $F$ является серединой стороны $AC$ (по определению), а точка $M$ — серединой стороны $AD$ (по определению). Следовательно, отрезок $FM$ является средней линией треугольника $ACD$.

По свойству средней линии, отрезок $FM$ параллелен стороне $DC$ и его длина равна половине длины этой стороны: $FM \parallel DC$ и $FM = \frac{1}{2}DC$.

3. Так как точка $D$ лежит на стороне $BC$, то прямые $BD$ и $DC$ совпадают с прямой $BC$. Из этого следует, что $EM \parallel BC$ и $FM \parallel BC$.

Согласно аксиоме о параллельных прямых, через точку $M$ может проходить только одна прямая, параллельная прямой $BC$. Так как и прямая, содержащая отрезок $EM$, и прямая, содержащая отрезок $FM$, проходят через точку $M$ и параллельны $BC$, эти прямые должны совпадать. Это означает, что точки $E, M, F$ лежат на одной прямой (коллинеарны).

4. Теперь докажем, что точка $M$ лежит именно на отрезке $EF$. Так как точка $D$ лежит на отрезке $BC$, то длина отрезка $BC$ равна сумме длин отрезков $BD$ и $DC$: $BC = BD + DC$.

Длина средней линии $EF$ треугольника $ABC$ равна половине длины стороны $BC$: $EF = \frac{1}{2}BC$.

Сложим длины отрезков $EM$ и $FM$, используя ранее полученные равенства: $EM + FM = \frac{1}{2}BD + \frac{1}{2}DC = \frac{1}{2}(BD + DC)$.

Подставив $BC = BD + DC$, получаем: $EM + FM = \frac{1}{2}BC$.

Таким образом, мы получили, что $EM + FM = EF$. Так как точки $E, M, F$ лежат на одной прямой и сумма длин отрезков $EM$ и $FM$ равна длине отрезка $EF$, то точка $M$ лежит между точками $E$ и $F$. Следовательно, точка $M$ принадлежит отрезку $EF$.

Ответ: Утверждение доказано.