Номер 536, страница 138 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Глава 6. Четырехугольники - номер 536, страница 138.

536* На двух сторонах треугольника вне его построены квадраты. Докажите, что отрезок, соединяющий концы сторон квадратов, выходящих из одной вершины треугольника, в 2 раза больше медианы треугольника, выходящей из той же вершины.

Пусть дан треугольник $ABC$. На сторонах $AB$ и $AC$ вне треугольника построены квадраты $ABDE$ и $ACFG$ соответственно. Пусть $M$ — середина стороны $BC$, тогда $AM$ — медиана треугольника $ABC$, выходящая из вершины $A$. Требуется доказать, что отрезок $EG$, соединяющий вершины квадратов, в 2 раза больше медианы $AM$.

Доказательство:

1. Выполним дополнительное построение. Построим точку $A'$ так, чтобы четырехугольник $ABA'C$ был параллелограммом. Для этого можно, например, отложить вектор $\vec{AA'} = \vec{AB} + \vec{AC}$.

2. По свойству параллелограмма, его диагонали $AA'$ и $BC$ пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Поскольку $M$ — середина стороны $BC$ (так как $AM$ — медиана), то $M$ также является серединой диагонали $AA'$. Отсюда следует, что длина диагонали $AA'$ в два раза больше длины медианы $AM$, то есть $AA' = 2AM$. Также по свойству параллелограмма $ABA'C$ его противоположные стороны равны, в частности, $BA' = AC$.

3. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle GAE$ и $\triangle ABA'$. Докажем, что эти треугольники равны, сравнив их стороны и углы между ними.

• Сравнение сторон:

- Сторона $AE$ треугольника $\triangle GAE$ равна стороне $AB$ треугольника $\triangle ABA'$, так как $AE$ и $AB$ — стороны одного и того же квадрата $ABDE$. Таким образом, $AE = AB$.

- Сторона $AG$ треугольника $\triangle GAE$ равна стороне $AC$ (как стороны квадрата $ACFG$). Сторона $BA'$ треугольника $\triangle ABA'$ также равна стороне $AC$ (как противоположные стороны параллелограмма $ABA'C$). Следовательно, $AG = BA'$.

• Сравнение углов:

- Сравним углы $\angle GAE$ и $\angle ABA'$, которые лежат между этими парами равных сторон.

- Угол $\angle GAE$ можно вычислить, рассмотрев углы вокруг вершины $A$. Сумма углов вокруг точки равна $360^\circ$. Углы $\angle EAB$ и $\angle GAC$ — это углы квадратов, построенных на сторонах $AB$ и $AC$, поэтому они равны $90^\circ$. Тогда угол $\angle GAE$ (внешний по отношению к $\triangle ABC$) равен: $\angle GAE = 360^\circ - \angle EAB - \angle GAC - \angle BAC = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - \angle BAC = 180^\circ - \angle BAC$.

- Угол $\angle ABA'$ — это угол параллелограмма $ABA'C$, прилежащий к стороне $AB$. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Поэтому $\angle BAC + \angle ABA' = 180^\circ$. Отсюда $\angle ABA' = 180^\circ - \angle BAC$.

- Таким образом, мы показали, что углы равны: $\angle GAE = \angle ABA'$.

4. Поскольку $AE = AB$, $AG = BA'$ и $\angle GAE = \angle ABA'$, треугольники $\triangle GAE$ и $\triangle ABA'$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

5. Из равенства треугольников $\triangle GAE \cong \triangle ABA'$ следует равенство их соответствующих третьих сторон. В частности, сторона $EG$ равна стороне $AA'$: $EG = AA'$.

6. Вспомним, что из пункта 2 мы знаем, что $AA' = 2AM$. Подставляя это в полученное на предыдущем шаге равенство, получаем: $EG = 2AM$.

Таким образом, утверждение полностью доказано.

Ответ: Длина отрезка, соединяющего концы сторон квадратов, выходящих из одной вершины треугольника, в 2 раза больше медианы треугольника, выходящей из той же вершины. То есть, $EG = 2AM$.