Номер 540, страница 138 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Прямоугольник, ромб, квадрат. Глава 6. Четырехугольники - номер 540, страница 138.

540* Докажите, что если фигура имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии, то точка их пересечения является центром симметрии фигуры.

Пусть $F$ — данная фигура, а $l_1$ и $l_2$ — две ее взаимно перпендикулярные оси симметрии. Пусть $O$ — точка пересечения этих осей. Необходимо доказать, что точка $O$ является центром симметрии фигуры $F$.

Введем на плоскости прямоугольную систему координат с началом в точке $O$. Направим ось абсцисс ($Ox$) вдоль прямой $l_1$, а ось ординат ($Oy$) — вдоль прямой $l_2$. Такое построение возможно, поскольку по условию оси $l_1$ и $l_2$ перпендикулярны.

Возьмем любую произвольную точку $A$ с координатами $(x, y)$, которая принадлежит фигуре $F$.

1. По условию, прямая $l_2$ (ось $Oy$) является осью симметрии фигуры $F$. Это означает, что если точка $A(x, y)$ принадлежит фигуре $F$, то и точка $A_1$, симметричная ей относительно оси $Oy$, также принадлежит фигуре $F$. Координаты точки $A_1$ будут $(-x, y)$. Следовательно, точка $A_1(-x, y)$ принадлежит $F$.

2. Также по условию, прямая $l_1$ (ось $Ox$) является осью симметрии фигуры $F$. Это значит, что для любой точки фигуры симметричная ей точка относительно оси $Ox$ также принадлежит фигуре. Мы уже установили, что точка $A_1(-x, y)$ принадлежит $F$. Следовательно, точка $A'$, симметричная точке $A_1$ относительно оси $Ox$, также принадлежит фигуре $F$. Координаты точки, симметричной $A_1(-x, y)$ относительно оси $Ox$, будут $(-x, -y)$. Таким образом, точка $A'(-x, -y)$ принадлежит $F$.

Мы показали, что для любой точки $A(x, y)$, принадлежащей фигуре $F$, точка $A'(-x, -y)$ также принадлежит этой фигуре.

Точка с координатами $(-x, -y)$ является точкой, симметричной точке с координатами $(x, y)$ относительно начала координат $O(0, 0)$. Поскольку наше рассуждение справедливо для любой точки $A$ фигуры $F$, это означает, что точка $O$ является центром симметрии фигуры $F$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.