Номер 544, страница 145 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Площадь многоугольника. 56. Площадь прямоугольника. Глава 7. Площадь - номер 544, страница 145.

544 На стороне AD прямоугольника ABCD построен треугольник ADE так, что его стороны АЕ и DE пересекают отрезок ВС в точках М и N, причём точка М — середина отрезка АЕ. Докажите, что S_ABCD = S_ADE.

Доказательство:

Площадь прямоугольника $ABCD$ вычисляется как произведение его смежных сторон: $S_{ABCD} = AD \cdot AB$.

Площадь треугольника $ADE$ равна половине произведения его основания на высоту: $S_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_E$, где $h_E$ — длина высоты, проведенной из вершины $E$ к прямой $AD$.

Для доказательства равенства $S_{ABCD} = S_{ADE}$ необходимо показать, что $AD \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_E$, что равносильно утверждению $h_E = 2 \cdot AB$.

Проведем из вершины $E$ высоту $EH_1$ к прямой, содержащей сторону $AD$. Таким образом, $h_E = EH_1$.

Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, его противоположные стороны $AD$ и $BC$ параллельны. Расстояние между параллельными прямыми $AD$ и $BC$ постоянно и равно длине стороны $AB$.

По условию, точка $M$ лежит на отрезке $BC$. Следовательно, расстояние от точки $M$ до прямой $AD$ равно $AB$.

Рассмотрим $\triangle AEH_1$. Проведем из точки $M$ перпендикуляр $MK$ к прямой $AD$. Длина этого перпендикуляра равна расстоянию от точки $M$ до прямой $AD$, то есть $MK = AB$. Так как $MK$ и $EH_1$ оба перпендикулярны $AD$, они параллельны друг другу ($MK \parallel EH_1$).

По теореме о пропорциональных отрезках (или из подобия треугольников $\triangle AMK$ и $\triangle AEH_1$), отношение соответственных сторон равно: $$ \frac{MK}{EH_1} = \frac{AM}{AE} $$

По условию задачи, точка $M$ — середина отрезка $AE$, что означает $\frac{AM}{AE} = \frac{1}{2}$.

Подставим известные значения в пропорцию: $$ \frac{AB}{EH_1} = \frac{1}{2} $$

Отсюда следует, что $EH_1 = 2 \cdot AB$. Мы доказали, что высота треугольника $ADE$, проведенная к стороне $AD$, в два раза больше стороны $AB$ прямоугольника.

Теперь вычислим площадь треугольника $ADE$: $$ S_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_E = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot EH_1 = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot (2 \cdot AB) = AD \cdot AB $$

Таким образом, мы получили, что $S_{ADE} = AD \cdot AB$. Так как $S_{ABCD} = AD \cdot AB$, то $S_{ABCD} = S_{ADE}$.

Ответ: Равенство $S_{ABCD} = S_{ADE}$ доказано, что и требовалось сделать.