Страница 145 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

544 На стороне AD прямоугольника ABCD построен треугольник ADE так, что его стороны АЕ и DE пересекают отрезок ВС в точках М и N, причём точка М — середина отрезка АЕ. Докажите, что S_ABCD = S_ADE.

Доказательство:

Площадь прямоугольника $ABCD$ вычисляется как произведение его смежных сторон: $S_{ABCD} = AD \cdot AB$.

Площадь треугольника $ADE$ равна половине произведения его основания на высоту: $S_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_E$, где $h_E$ — длина высоты, проведенной из вершины $E$ к прямой $AD$.

Для доказательства равенства $S_{ABCD} = S_{ADE}$ необходимо показать, что $AD \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_E$, что равносильно утверждению $h_E = 2 \cdot AB$.

Проведем из вершины $E$ высоту $EH_1$ к прямой, содержащей сторону $AD$. Таким образом, $h_E = EH_1$.

Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, его противоположные стороны $AD$ и $BC$ параллельны. Расстояние между параллельными прямыми $AD$ и $BC$ постоянно и равно длине стороны $AB$.

По условию, точка $M$ лежит на отрезке $BC$. Следовательно, расстояние от точки $M$ до прямой $AD$ равно $AB$.

Рассмотрим $\triangle AEH_1$. Проведем из точки $M$ перпендикуляр $MK$ к прямой $AD$. Длина этого перпендикуляра равна расстоянию от точки $M$ до прямой $AD$, то есть $MK = AB$. Так как $MK$ и $EH_1$ оба перпендикулярны $AD$, они параллельны друг другу ($MK \parallel EH_1$).

По теореме о пропорциональных отрезках (или из подобия треугольников $\triangle AMK$ и $\triangle AEH_1$), отношение соответственных сторон равно: $$ \frac{MK}{EH_1} = \frac{AM}{AE} $$

По условию задачи, точка $M$ — середина отрезка $AE$, что означает $\frac{AM}{AE} = \frac{1}{2}$.

Подставим известные значения в пропорцию: $$ \frac{AB}{EH_1} = \frac{1}{2} $$

Отсюда следует, что $EH_1 = 2 \cdot AB$. Мы доказали, что высота треугольника $ADE$, проведенная к стороне $AD$, в два раза больше стороны $AB$ прямоугольника.

Теперь вычислим площадь треугольника $ADE$: $$ S_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_E = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot EH_1 = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot (2 \cdot AB) = AD \cdot AB $$

Таким образом, мы получили, что $S_{ADE} = AD \cdot AB$. Так как $S_{ABCD} = AD \cdot AB$, то $S_{ABCD} = S_{ADE}$.

Ответ: Равенство $S_{ABCD} = S_{ADE}$ доказано, что и требовалось сделать.

545 Найдите площадь квадрата, если его сторона равна: а) 1,2 см; б) 34 дм; в) 32 м.

Площадь квадрата ($S$) вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ – длина его стороны.

а)

Дана сторона квадрата $a = 1,2$ см. Подставим это значение в формулу площади:

$S = (1,2 \text{ см})^2 = 1,2 \times 1,2 \text{ см}^2 = 1,44 \text{ см}^2$.

Ответ: $1,44 \text{ см}^2$.

б)

Дана сторона квадрата $a = \frac{3}{4}$ дм. Вычислим площадь, подставив значение в формулу:

$S = \left(\frac{3}{4} \text{ дм}\right)^2 = \frac{3^2}{4^2} \text{ дм}^2 = \frac{9}{16} \text{ дм}^2$.

Ответ: $\frac{9}{16} \text{ дм}^2$.

в)

Дана сторона квадрата $a = 3\sqrt{2}$ м. Найдем площадь, возведя длину стороны в квадрат:

$S = (3\sqrt{2} \text{ м})^2 = 3^2 \times (\sqrt{2})^2 \text{ м}^2 = 9 \times 2 \text{ м}^2 = 18 \text{ м}^2$.

Ответ: $18 \text{ м}^2$.

546 Найдите сторону квадрата, если его площадь равна: а) 16 см²; б) 2,25 дм²; в) 12 м².

Чтобы найти сторону квадрата по его площади, необходимо воспользоваться формулой площади квадрата: $S = a^2$, где $S$ — это площадь, а $a$ — сторона квадрата. Выразив сторону из этой формулы, получим: $a = \sqrt{S}$.

а)

Дана площадь квадрата $S = 16 \text{ см}^2$.
Найдем сторону квадрата $a$, извлекая квадратный корень из площади:
$a = \sqrt{16} = 4 \text{ см}$.
Проверка: $4^2 = 16$.
Ответ: 4 см.

б)

Дана площадь квадрата $S = 2,25 \text{ дм}^2$.
Найдем сторону квадрата $a$:
$a = \sqrt{2,25} = 1,5 \text{ дм}$.
Проверка: $1,5^2 = 2,25$.
Ответ: 1,5 дм.

в)

Дана площадь квадрата $S = 12 \text{ м}^2$.
Найдем сторону квадрата $a$:
$a = \sqrt{12} \text{ м}$.
Так как 12 не является полным квадратом, упростим корень:
$a = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \text{ м}$.
Ответ: $2\sqrt{3}$ м.

547 Площадь квадрата равна 24 см². Выразите площадь этого квадрата: а) в квадратных миллиметрах; б) в квадратных дециметрах.

а) Для того чтобы выразить площадь из квадратных сантиметров ($см^2$) в квадратные миллиметры ($мм^2$), необходимо знать соотношение между этими единицами измерения.
В одном сантиметре содержится 10 миллиметров:
$1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$
Соответственно, в одном квадратном сантиметре будет $10 \times 10 = 100$ квадратных миллиметров:
$1 \text{ см}^2 = 1 \text{ см} \times 1 \text{ см} = 10 \text{ мм} \times 10 \text{ мм} = 100 \text{ мм}^2$
Теперь переведем заданную площадь 24 см? в квадратные миллиметры, умножив это значение на 100:
$24 \text{ см}^2 = 24 \times 100 \text{ мм}^2 = 2400 \text{ мм}^2$
Ответ: $2400 \text{ мм}^2$

б) Для того чтобы выразить площадь из квадратных сантиметров ($см^2$) в квадратные дециметры ($дм^2$), необходимо знать соотношение между этими единицами.
В одном дециметре содержится 10 сантиметров:
$1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$
Соответственно, в одном квадратном дециметре будет $10 \times 10 = 100$ квадратных сантиметров:
$1 \text{ дм}^2 = 1 \text{ дм} \times 1 \text{ дм} = 10 \text{ см} \times 10 \text{ см} = 100 \text{ см}^2$
Чтобы выполнить обратный перевод, то есть из см? в дм?, необходимо разделить значение площади на 100.
$1 \text{ см}^2 = \frac{1}{100} \text{ дм}^2 = 0.01 \text{ дм}^2$
Теперь переведем заданную площадь 24 см? в квадратные дециметры, разделив это значение на 100:
$24 \text{ см}^2 = \frac{24}{100} \text{ дм}^2 = 0.24 \text{ дм}^2$
Ответ: $0.24 \text{ дм}^2$

548 Пусть a и b — смежные стороны прямоугольника, а S — его площадь. Вычислите:

а) S, если а = 8,5 см, b = 3,2 см;

б) S, если а = 22 см, b = 3 см;

в) b, если а = 32 см, S = 684,8 см²;

г) а, если b = 4,5 см, S = 12,15 см².

Для решения всех пунктов задачи используется формула площади прямоугольника: $S = a \cdot b$, где $S$ — площадь, а $a$ и $b$ — его смежные стороны.

а) Даны стороны прямоугольника $a = 8,5$ см и $b = 3,2$ см. Необходимо найти его площадь $S$.
Подставляем значения в формулу:
$S = a \cdot b = 8,5 \cdot 3,2 = 27,2$ см?.
Ответ: $27,2$ см?.

б) Даны стороны прямоугольника $a = 2\sqrt{2}$ см и $b = 3$ см. Необходимо найти его площадь $S$.
Подставляем значения в формулу:
$S = a \cdot b = 2\sqrt{2} \cdot 3 = 6\sqrt{2}$ см?.
Ответ: $6\sqrt{2}$ см?.

в) Даны площадь прямоугольника $S = 684,8$ см? и одна из его сторон $a = 32$ см. Необходимо найти другую сторону $b$.
Из формулы площади выражаем сторону $b$:
$b = \frac{S}{a}$
Подставляем известные значения:
$b = \frac{684,8}{32} = 21,4$ см.
Ответ: $21,4$ см.

г) Даны площадь прямоугольника $S = 12,15$ см? и одна из его сторон $b = 4,5$ см. Необходимо найти другую сторону $a$.
Из формулы площади выражаем сторону $a$:
$a = \frac{S}{b}$
Подставляем известные значения:
$a = \frac{12,15}{4,5} = 2,7$ см.
Ответ: $2,7$ см.

549 Как изменится площадь прямоугольника, если: а) одну пару противоположных сторон увеличить в 2 раза; б) каждую сторону увеличить в 2 раза; в) одну пару противоположных сторон увеличить в 2 раза, а другую — уменьшить в 2 раза?

Для решения задачи обозначим первоначальные стороны прямоугольника как $a$ и $b$. Его первоначальная площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = a \cdot b$

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно.

а) Если одну пару противоположных сторон (например, стороны длиной $a$) увеличить в 2 раза, то новая длина этих сторон станет $2a$. Длина другой пары сторон $b$ останется прежней. Новая площадь $S_1$ будет равна:

$S_1 = (2a) \cdot b = 2 \cdot (a \cdot b) = 2S$

Таким образом, площадь прямоугольника увеличится в 2 раза.
Ответ: площадь увеличится в 2 раза.

б) Если каждую сторону увеличить в 2 раза, то новые стороны будут равны $2a$ и $2b$. Новая площадь $S_2$ будет равна:

$S_2 = (2a) \cdot (2b) = 4 \cdot (a \cdot b) = 4S$

Таким образом, площадь прямоугольника увеличится в 4 раза.
Ответ: площадь увеличится в 4 раза.

в) Если одну пару сторон (например, $a$) увеличить в 2 раза, а другую пару сторон ($b$) уменьшить в 2 раза, то их новые длины станут $2a$ и $b/2$ соответственно. Новая площадь $S_3$ будет равна:

$S_3 = (2a) \cdot \frac{b}{2} = \frac{2}{2} \cdot (a \cdot b) = 1 \cdot (a \cdot b) = S$

Таким образом, площадь прямоугольника не изменится.
Ответ: площадь не изменится.

550 Найдите стороны прямоугольника, если: а) его площадь равна 250 см², а одна сторона в 2,5 раза больше другой; б) его площадь равна 9 м², а периметр равен 12 м.

а) его площадь равна 250 см?, а одна сторона в 2,5 раза больше другой;

Пусть одна сторона прямоугольника (меньшая) равна $x$ см. Тогда, согласно условию, другая сторона будет в 2,5 раза больше, то есть $2.5x$ см.
Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его смежных сторон: $S = a \cdot b$.
Нам известно, что площадь равна 250 см?. Составим и решим уравнение:
$x \cdot (2.5x) = 250$
$2.5x^2 = 250$
Теперь разделим обе части уравнения на 2,5:
$x^2 = \frac{250}{2.5}$
$x^2 = 100$
$x = \sqrt{100}$
$x = 10$ см (длина стороны может быть только положительным числом).
Итак, одна сторона равна 10 см.
Найдем вторую сторону: $2.5 \cdot 10 = 25$ см.
Проверка: площадь $S = 10 \text{ см} \cdot 25 \text{ см} = 250 \text{ см}^2$. Условие выполняется.
Ответ: стороны прямоугольника равны 10 см и 25 см.

б) его площадь равна 9 м?, а периметр равен 12 м.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$ метров.
Площадь прямоугольника задана как $S = a \cdot b = 9$ м?.
Периметр прямоугольника задан как $P = 2(a + b) = 12$ м.
Из формулы периметра найдем сумму сторон:
$a + b = \frac{P}{2} = \frac{12}{2} = 6$ м.
Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} a + b = 6 \\ a \cdot b = 9 \end{cases}$
Эту систему можно решить методом подстановки. Из первого уравнения выразим $a$:
$a = 6 - b$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(6 - b) \cdot b = 9$
$6b - b^2 = 9$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$b^2 - 6b + 9 = 0$
Это уравнение является полным квадратом:
$(b - 3)^2 = 0$
Следовательно, $b - 3 = 0$, откуда $b = 3$ м.
Теперь найдем вторую сторону $a$:
$a = 6 - b = 6 - 3 = 3$ м.
Обе стороны равны 3 м, значит, данный прямоугольник является квадратом.
Проверка: площадь $S = 3 \text{ м} \cdot 3 \text{ м} = 9 \text{ м}^2$. Периметр $P = 2(3 \text{ м} + 3 \text{ м}) = 12 \text{ м}$. Условия выполняются.
Ответ: стороны прямоугольника равны 3 м и 3 м.

551 Пол комнаты, имеющий форму прямоугольника со сторонами 5,5 м и 6 м, нужно покрыть паркетом прямоугольной формы. Длина каждой дощечки паркета равна 30 см, а ширина — 5 см. Сколько потребуется таких дощечек для покрытия пола?

Для решения этой задачи необходимо найти площадь пола комнаты и площадь одной дощечки паркета. Чтобы расчеты были верными, все измерения нужно привести к одной единице, например, к сантиметрам.

1. Вычисление площади пола в квадратных сантиметрах
Сначала переведем размеры комнаты из метров в сантиметры, зная, что $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.
Стороны комнаты: $5,5$ м и $6$ м.
Длина комнаты: $a = 6 \text{ м} = 6 \times 100 = 600 \text{ см}$.
Ширина комнаты: $b = 5,5 \text{ м} = 5,5 \times 100 = 550 \text{ см}$.
Теперь вычислим площадь пола ($S_{пола}$) как произведение его сторон:
$S_{пола} = a \times b = 600 \text{ см} \times 550 \text{ см} = 330000 \text{ см}^2$.

2. Вычисление площади одной дощечки паркета
Размеры одной дощечки даны в сантиметрах: длина $30$ см и ширина $5$ см.
Вычислим площадь одной дощечки ($S_{дощечки}$):
$S_{дощечки} = 30 \text{ см} \times 5 \text{ см} = 150 \text{ см}^2$.

3. Расчет количества дощечек
Чтобы найти, сколько всего дощечек потребуется, разделим общую площадь пола на площадь одной дощечки:
Количество дощечек = $\frac{S_{пола}}{S_{дощечки}} = \frac{330000 \text{ см}^2}{150 \text{ см}^2} = 2200$.

Ответ: для покрытия пола потребуется 2200 таких дощечек.

552 Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 15 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 3 м и 2,7 м?

Для решения задачи необходимо сначала привести все размеры к одной единице измерения. Удобнее всего перевести размеры стены из метров в сантиметры.

Дано:
Стороны стены: $3$ м и $2,7$ м.
Сторона квадратной плитки: $15$ см.

1. Перевод единиц измерения.
В одном метре $100$ сантиметров, поэтому:
Длина стены: $3 \text{ м} = 3 \times 100 \text{ см} = 300 \text{ см}$.
Ширина стены: $2,7 \text{ м} = 2,7 \times 100 \text{ см} = 270 \text{ см}$.

2. Расчет количества плиток по каждой стороне стены.
Теперь определим, сколько плиток уложится по длине и ширине стены без подрезки.

Количество плиток по длине: $\frac{300 \text{ см}}{15 \text{ см}} = 20 \text{ штук}$.

Количество плиток по ширине: $\frac{270 \text{ см}}{15 \text{ см}} = 18 \text{ штук}$.

Поскольку оба размера стены делятся на размер стороны плитки без остатка, это означает, что вся стена будет покрыта целыми плитками.

3. Расчет общего количества плиток.
Чтобы найти общее количество плиток, нужно умножить количество плиток, помещающихся по длине, на количество плиток, помещающихся по ширине.

Общее количество = $20 \times 18 = 360$ плиток.

Альтернативный способ (через площадь):
1. Находим площадь стены: $S_{стены} = 300 \text{ см} \times 270 \text{ см} = 81000 \text{ см}^2$.
2. Находим площадь одной плитки: $S_{плитки} = 15 \text{ см} \times 15 \text{ см} = 225 \text{ см}^2$.
3. Делим площадь стены на площадь одной плитки: $\frac{81000}{225} = 360$ плиток.

Ответ: потребуется 360 кафельных плиток.

553 Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со смежными сторонами 8 м и 18 м.

Для того чтобы найти сторону квадрата, сначала необходимо вычислить площадь прямоугольника, так как по условию их площади равны.

Площадь прямоугольника ($S_{пр}$) вычисляется как произведение длин его смежных сторон. Стороны прямоугольника равны 8 м и 18 м.

$S_{пр} = 8 \text{ м} \cdot 18 \text{ м} = 144 \text{ м}^2$

Площадь квадрата ($S_{кв}$) равна площади прямоугольника, следовательно:

$S_{кв} = 144 \text{ м}^2$

Площадь квадрата также равна квадрату его стороны ($a$). Формула площади квадрата: $S_{кв} = a^2$. Чтобы найти сторону квадрата, нужно извлечь квадратный корень из его площади.

$a = \sqrt{S_{кв}} = \sqrt{144 \text{ м}^2} = 12 \text{ м}$

Ответ: 12 м.

554 Два участка земли огорожены заборами одинаковой длины. Первый участок имеет форму прямоугольника со сторонами 220 м и 160 м, а второй имеет форму квадрата. Площадь какого участка больше и на сколько?

Поскольку участки огорожены заборами одинаковой длины, их периметры равны. Сначала найдем периметр первого участка, который имеет форму прямоугольника со сторонами 220 м и 160 м. Периметр прямоугольника ($P_{прям}$) вычисляется по формуле $P = 2 \times (a+b)$, где $a$ и $b$ - его стороны.

$P_{прям} = 2 \times (220 + 160) = 2 \times 380 = 760$ м.

Периметр второго участка, имеющего форму квадрата ($P_{кв}$), также равен 760 м. Зная периметр квадрата, можно найти длину его стороны ($s$). Периметр квадрата равен $P = 4s$.

$s = P_{кв} / 4 = 760 / 4 = 190$ м.

Теперь, зная все стороны, вычислим площади обоих участков. Площадь первого (прямоугольного) участка ($S_1$) вычисляется по формуле $S = a \times b$:

$S_1 = 220 \times 160 = 35200$ м².

Площадь второго (квадратного) участка ($S_2$) вычисляется по формуле $S = s^2$:

$S_2 = 190^2 = 190 \times 190 = 36100$ м².

Для ответа на вопрос задачи сравним полученные площади: $S_2 = 36100$ м², а $S_1 = 35200$ м². Так как $36100 > 35200$, площадь квадратного участка больше.

Найдем, на сколько она больше, для этого вычтем из большей площади меньшую:

$S_2 - S_1 = 36100 - 35200 = 900$ м².

Ответ: площадь второго, квадратного, участка больше на 900 м².