Страница 144 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

541 Вырежите из бумаги два равных прямоугольных треугольника и составьте из них: а) равнобедренный треугольник; б) прямоугольник; в) параллелограмм, отличный от прямоугольника. Сравните площади полученных фигур.

Возьмем два равных прямоугольных треугольника. Пусть длины их катетов равны $a$ и $b$, а длина гипотенузы — $c$. Площадь одного такого треугольника вычисляется по формуле $S_{тр} = \frac{1}{2}ab$.

а) Чтобы составить равнобедренный треугольник, необходимо приложить два равных прямоугольных треугольника друг к другу по одному из равных катетов. Например, соединим их по катету длиной $a$. В результате получится новый треугольник. Две его стороны будут равны гипотенузам исходных треугольников (то есть обе равны $c$), а третья сторона (основание) будет равна удвоенной длине второго катета, то есть $2b$. Так как у полученного треугольника две стороны равны, он является равнобедренным. Его высота, проведенная к основанию, будет равна $a$.
Площадь этого равнобедренного треугольника можно найти как сумму площадей двух исходных треугольников: $S_а = S_{тр} + S_{тр} = 2 \cdot (\frac{1}{2}ab) = ab$.

Ответ: Равнобедренный треугольник можно получить, приложив два исходных прямоугольных треугольника друг к другу одним из равных катетов.

б) Чтобы составить прямоугольник, нужно соединить два равных прямоугольных треугольника по их гипотенузам. Для этого один из треугольников следует мысленно повернуть на 180° и приложить его гипотенузой к гипотенузе другого треугольника. Углы полученного четырехугольника будут прямыми, так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Стороны этого прямоугольника будут равны катетам $a$ и $b$ исходных треугольников.
Площадь полученного прямоугольника равна произведению его сторон: $S_б = a \cdot b$.

Ответ: Прямоугольник получается при соединении двух исходных треугольников по гипотенузе (один из треугольников предварительно поворачивается на 180°).

в) Чтобы составить параллелограмм, отличный от прямоугольника, можно соединить два треугольника по одному из равных катетов (например, по катету $b$) таким образом, чтобы они были симметричны относительно середины этого катета. В результате получится параллелограмм, у которого смежные стороны равны другому катету ($a$) и гипотенузе ($c$) исходного треугольника. Углы этого параллелограмма не будут прямыми (за исключением случая, когда исходный треугольник — равнобедренный, и тогда получается квадрат).
Площадь этого параллелограмма также равна сумме площадей двух исходных треугольников: $S_в = 2 \cdot S_{тр} = ab$.

Ответ: Параллелограмм, отличный от прямоугольника, можно получить, соединив треугольники по одному из равных катетов так, чтобы они были симметричны относительно середины этого катета.

Сравним площади полученных фигур.
Площадь равнобедренного треугольника: $S_а = ab$.
Площадь прямоугольника: $S_б = ab$.
Площадь параллелограмма: $S_в = ab$.
Таким образом, $S_а = S_б = S_в$.
Это объясняется тем, что все три фигуры составлены из двух одних и тех же равных прямоугольных треугольников, а площадь фигуры равна сумме площадей ее частей.

Ответ: Площади всех трех полученных фигур равны между собой.

542 Начертите квадрат и примите его за единицу измерения площадей. Далее начертите: а) квадрат, площадь которого выражается числом 4; б) прямоугольник, отличный от квадрата, площадь которого выражается числом 4; в) треугольник, площадь которого выражается числом 2.

Сначала начертим квадрат и примем его за единицу измерения площадей. Пусть сторона этого квадрата равна 1 условной единице (например, одной клетке в тетради). Тогда его площадь $S = 1 \times 1 = 1$ квадратная единица. Это наша единица измерения.

а) Начертить квадрат, площадь которого выражается числом 4.

Площадь квадрата находится по формуле $S = a^2$, где $a$ – его сторона. Нам дана площадь $S = 4$ кв. ед. Чтобы найти сторону, нужно извлечь квадратный корень из площади: $a = \sqrt{S} = \sqrt{4} = 2$ условные единицы. Следовательно, нужно начертить квадрат со стороной 2 условные единицы. Он будет состоять из 4 единичных квадратов.

Ответ: Нужно начертить квадрат со стороной 2 условные единицы.

б) Начертить прямоугольник, отличный от квадрата, площадь которого выражается числом 4.

Площадь прямоугольника находится по формуле $S = a \times b$, где $a$ и $b$ – его стороны. По условию, $S = 4$ кв. ед., и прямоугольник не является квадратом, значит, $a \neq b$. Нам нужно найти два различных натуральных числа, произведение которых равно 4. Единственная такая пара чисел – это 1 и 4. Следовательно, нужно начертить прямоугольник со сторонами 1 и 4 условные единицы.

Ответ: Нужно начертить прямоугольник со сторонами 1 и 4 условные единицы.

в) Начертить треугольник, площадь которого выражается числом 2.

Площадь треугольника находится по формуле $S = \frac{1}{2} \times b \times h$, где $b$ – основание треугольника, а $h$ – высота, проведенная к этому основанию. По условию, $S = 2$ кв. ед. Подставим значение площади в формулу: $2 = \frac{1}{2} \times b \times h$. Отсюда следует, что произведение основания на высоту должно быть равно $b \times h = 4$. Можно выбрать разные значения для основания и высоты. Например:

• Основание $b=4$ условные единицы, высота $h=1$ условная единица.
• Основание $b=2$ условные единицы, высота $h=2$ условные единицы.

Проще всего начертить прямоугольный треугольник, у которого катеты являются основанием и высотой. Например, можно взять прямоугольный треугольник с катетами 2 и 2 условные единицы. Его площадь будет равна $S = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$ кв. ед.

Ответ: Можно начертить треугольник с основанием 4 и высотой 1 условная единица, или прямоугольный треугольник с катетами по 2 условные единицы.

543 Начертите параллелограмм ABCD и отметьте точку М, симметричную точке D относительно точки С. Докажите, что S_ABCD = S_AMD.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Точка $M$ симметрична точке $D$ относительно точки $C$. По определению центральной симметрии, точка $C$ является серединой отрезка $DM$. Это означает, что точки $D$, $C$, $M$ лежат на одной прямой и длины отрезков $DC$ и $CM$ равны: $DC = CM$.

Площадь параллелограмма $ABCD$ можно найти, зная, что диагональ $AC$ делит его на два равновеликих (равных по площади) треугольника: $\triangle ACD$ и $\triangle ABC$. Следовательно, площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника $ACD$.

$S_{ABCD} = 2 \cdot S_{ACD}$

Рассмотрим треугольник $AMD$. Его площадь можно представить как сумму площадей треугольников $\triangle ACD$ и $\triangle ACM$, так как отрезок $AC$ является их общей стороной, а вместе они образуют $\triangle AMD$.

$S_{AMD} = S_{ACD} + S_{ACM}$

Теперь сравним площади треугольников $\triangle ACD$ и $\triangle ACM$. Они имеют общую высоту, проведенную из вершины $A$ к прямой $DM$, на которой лежат их основания $DC$ и $CM$. Обозначим эту высоту $h_A$. Площадь $\triangle ACD$ равна $S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot h_A$, а площадь $\triangle ACM$ равна $S_{ACM} = \frac{1}{2} \cdot CM \cdot h_A$.

Поскольку по условию симметрии $DC = CM$, то и площади этих треугольников равны: $S_{ACD} = S_{ACM}$.

Подставим это равенство в выражение для площади треугольника $AMD$:

$S_{AMD} = S_{ACD} + S_{ACD} = 2 \cdot S_{ACD}$

Сравнивая полученные выражения для площадей параллелограмма $ABCD$ и треугольника $AMD$:

$S_{ABCD} = 2 \cdot S_{ACD}$

$S_{AMD} = 2 \cdot S_{ACD}$

мы видим, что они равны. Следовательно, $S_{ABCD} = S_{AMD}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что $S_{ABCD} = S_{AMD}$, доказано.