Страница 150 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

555 Пусть а — основание, h — высота, а S — площадь параллелограмма. Найдите:

а) S, если а = 15 см, h = 12 см;

б) а, если S = 34 см², h = 8,5 см;

в) а, если S = 162 см², h = 12a;

г) h, если h = 3а, S = 27.

Площадь параллелограмма вычисляется по формуле $S = a \cdot h$, где $a$ – основание, а $h$ – высота, проведенная к этому основанию. Используем эту формулу для решения всех подпунктов.

а)

Дано: основание $a = 15$ см, высота $h = 12$ см.

Чтобы найти площадь $S$, подставим данные значения в формулу:

$S = a \cdot h = 15 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} = 180 \text{ см}^2$.

Ответ: $S = 180 \text{ см}^2$.

б)

Дано: площадь $S = 34 \text{ см}^2$, высота $h = 8,5$ см.

Чтобы найти основание $a$, выразим его из формулы площади: $a = \frac{S}{h}$.

Подставим известные значения:

$a = \frac{34 \text{ см}^2}{8,5 \text{ см}} = \frac{340}{85} \text{ см} = 4 \text{ см}$.

Ответ: $a = 4 \text{ см}$.

в)

Дано: площадь $S = 162 \text{ см}^2$, и известно, что высота связана с основанием соотношением $h = \frac{1}{2}a$.

Подставим выражение для $h$ в формулу площади:

$S = a \cdot h = a \cdot \left(\frac{1}{2}a\right) = \frac{1}{2}a^2$.

Теперь подставим значение площади $S$ и решим уравнение относительно $a$:

$162 = \frac{1}{2}a^2$

$a^2 = 162 \cdot 2 = 324$

Так как длина основания не может быть отрицательной, находим положительный корень:

$a = \sqrt{324} = 18 \text{ см}$.

Ответ: $a = 18 \text{ см}$.

г)

Дано: площадь $S = 27$ (единицы измерения площади не указаны), и известно, что высота связана с основанием соотношением $h = 3a$.

Из соотношения $h = 3a$ выразим основание $a$ через высоту $h$: $a = \frac{h}{3}$.

Подставим это выражение для $a$ в формулу площади:

$S = a \cdot h = \left(\frac{h}{3}\right) \cdot h = \frac{h^2}{3}$.

Теперь подставим значение площади $S$ и решим уравнение относительно $h$:

$27 = \frac{h^2}{3}$

$h^2 = 27 \cdot 3 = 81$

Так как высота не может быть отрицательной, находим положительный корень:

$h = \sqrt{81} = 9$.

Ответ: $h = 9$.

556 Диагональ параллелограмма, равная 13 см, перпендикулярна к стороне параллелограмма, равной 12 см. Найдите площадь параллелограмма.

Для нахождения площади параллелограмма ($S$) используется формула произведения его стороны (основания) на высоту, проведенную к этой стороне: $S = a \cdot h$.

Согласно условию задачи, у нас есть сторона параллелограмма, равная 12 см, и диагональ, равная 13 см, которая перпендикулярна этой стороне.

Примем сторону длиной 12 см за основание параллелограмма, то есть $a = 12$ см.

Высота параллелограмма по определению — это перпендикуляр, проведенный из вершины к противолежащей стороне (основанию). Так как по условию диагональ перпендикулярна этой стороне, то ее длина является высотой параллелограмма. Таким образом, высота $h = 13$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь параллелограмма, подставив известные значения в формулу:$S = a \cdot h = 12 \text{ см} \cdot 13 \text{ см} = 156 \text{ см}^2$.

Данную задачу можно решить и другим способом. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Рассмотрим треугольник, образованный стороной (12 см), диагональю (13 см) и второй стороной параллелограмма. Поскольку диагональ перпендикулярна первой стороне, этот треугольник является прямоугольным, а данные сторона и диагональ — его катетами.

Площадь этого прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:$S_{\text{треуг.}} = \frac{1}{2} \cdot 12 \text{ см} \cdot 13 \text{ см} = 78 \text{ см}^2$.

Так как параллелограмм состоит из двух таких равных треугольников, его площадь равна удвоенной площади одного треугольника:$S_{\text{парал.}} = 2 \cdot S_{\text{треуг.}} = 2 \cdot 78 \text{ см}^2 = 156 \text{ см}^2$.

Ответ: 156 см².

557 Смежные стороны параллелограмма равны 12 см и 14 см, а его острый угол равен 30°. Найдите площадь параллелограмма.

Площадь параллелограмма можно найти по формуле, использующей длины двух смежных сторон и синус угла между ними.

Формула для вычисления площади ($S$) параллелограмма через две смежные стороны ($a$ и $b$) и угол ($\alpha$) между ними:

$S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$

Согласно условию задачи, у нас есть:
- Длина одной стороны $a = 12$ см.
- Длина смежной ей стороны $b = 14$ см.
- Острый угол между сторонами $\alpha = 30°$.

Подставим эти значения в формулу площади:

$S = 12 \cdot 14 \cdot \sin(30°)$

Значение синуса угла $30°$ является известной величиной:

$\sin(30°) = \frac{1}{2}$

Теперь произведем расчет:

$S = 12 \cdot 14 \cdot \frac{1}{2} = 168 \cdot \frac{1}{2} = 84$

Таким образом, площадь параллелограмма равна 84 см?.

Ответ: 84 см?.

558 Сторона ромба равна 6 см, а один из углов равен 150°. Найдите площадь ромба.

Для нахождения площади ромба можно использовать формулу, основанную на длине его стороны и синусе угла между сторонами. Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Формула площади ромба выглядит так:

$S = a^2 \cdot \sin(\alpha)$

где $a$ — это сторона ромба, а $\alpha$ — угол между двумя смежными сторонами.

По условию задачи нам даны следующие значения:

Сторона ромба $a = 6$ см.

Один из углов ромба равен $150^\circ$.

В ромбе сумма соседних углов равна $180^\circ$. Поэтому, если один угол равен $150^\circ$ (тупой угол), то соседний с ним угол (острый угол) будет равен:

$180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$

Для расчета площади можно использовать синус любого из этих углов, так как их синусы равны: $\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ)$.

Возьмем для расчета острый угол $\alpha = 30^\circ$. Значение синуса этого угла:

$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

Теперь подставим известные значения в формулу площади:

$S = 6^2 \cdot \sin(30^\circ) = 36 \cdot \frac{1}{2} = 18$ см$^2$.

Ответ: 18 см$^2$.

559 Сторона параллелограмма равна 8,1 см, а диагональ, равная 14 см, образует с ней угол в 30°. Найдите площадь параллелограмма.

Пусть сторона параллелограмма равна $a = 8,1$ см, а диагональ, которая образует с ней угол $\alpha = 30^\circ$, равна $d = 14$ см.

Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Площадь параллелограмма ($S_{пар}$) можно найти как удвоенную площадь одного из этих треугольников ($S_{\triangle}$).

Рассмотрим треугольник, образованный стороной $a$, диагональю $d$ и прилежащей к ним второй стороной параллелограмма. В этом треугольнике нам известны длины двух сторон ($a$ и $d$) и угол между ними ($\alpha$). Площадь такого треугольника вычисляется по формуле:

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} a d \sin\alpha$

Подставим в формулу наши значения:

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot 8,1 \cdot 14 \cdot \sin(30^\circ)$

Мы знаем, что значение синуса 30 градусов равно $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$. Теперь можем вычислить площадь треугольника:

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot 8,1 \cdot 14 \cdot \frac{1}{2} = 8,1 \cdot \frac{14}{4} = 8,1 \cdot 3,5 = 28,35$ см².

Чтобы найти площадь всего параллелограмма, удвоим площадь полученного треугольника:

$S_{пар} = 2 \cdot S_{\triangle} = 2 \cdot 28,35 = 56,7$ см².

Ответ: 56,7 см².

560 Пусть a и b — смежные стороны параллелограмма, S — площадь, а h₁ и h₂ — его высоты. Найдите:

а) h₂, если а = 18 см, b = 30 см, h₁ = 6 см, h₂ > h₁;

б) h₁, если а = 10 см, b = 15 см, h₂ = 6 см, h₂ > h₁;

в) h₁ и h₂, если S = 54 см², а = 4,5 см, b = 6 см.

Площадь параллелограмма $S$ можно вычислить по формуле, умножив длину стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Для двух смежных сторон $a$ и $b$ и соответствующих им высот $h_a$ и $h_b$ справедливо равенство, так как площадь фигуры едина: $S = a \cdot h_a = b \cdot h_b$.

Важным свойством параллелограмма является то, что к большей стороне проведена меньшая высота, а к меньшей стороне — большая. То есть, если $a < b$, то $h_a > h_b$.

а)

Даны стороны $a = 18$ см и $b = 30$ см, и высота $h_1 = 6$ см. Также известно, что $h_2 > h_1$. Сравним стороны: $a < b$ (поскольку $18 < 30$). Это означает, что высота, проведенная к стороне $a$, должна быть больше высоты, проведенной к стороне $b$. Из условия $h_2 > h_1$ следует, что $h_2$ — это большая высота, а $h_1$ — меньшая. Следовательно, большая высота $h_2$ соответствует меньшей стороне $a$ ($h_a = h_2$), а меньшая высота $h_1$ — большей стороне $b$ ($h_b = h_1 = 6$ см). Используем равенство площадей: $a \cdot h_a = b \cdot h_b$ Подставим известные значения: $18 \cdot h_2 = 30 \cdot 6$ $18 \cdot h_2 = 180$ $h_2 = \frac{180}{18}$ $h_2 = 10$ см.

Ответ: $h_2 = 10$ см.

б)

Даны стороны $a = 10$ см и $b = 15$ см, и высота $h_2 = 6$ см. Также известно, что $h_2 > h_1$. Сравним стороны: $a < b$ (поскольку $10 < 15$). Значит, высота к стороне $a$ больше высоты к стороне $b$ ($h_a > h_b$). Из условия $h_2 > h_1$ следует, что $h_2$ — большая высота, а $h_1$ — меньшая. Таким образом, большая высота $h_2$ проведена к меньшей стороне $a$ ($h_a = h_2 = 6$ см), а меньшая высота $h_1$ — к большей стороне $b$ ($h_b = h_1$). Запишем равенство площадей: $a \cdot h_a = b \cdot h_b$ Подставим значения: $10 \cdot 6 = 15 \cdot h_1$ $60 = 15 \cdot h_1$ $h_1 = \frac{60}{15}$ $h_1 = 4$ см.

Ответ: $h_1 = 4$ см.

в)

Дана площадь $S = 54$ см?, и стороны $a = 4,5$ см и $b = 6$ см. Требуется найти высоты $h_1$ и $h_2$. Примем, что $h_1$ — это высота, проведенная к стороне $a$, а $h_2$ — высота, проведенная к стороне $b$. Найдем $h_1$ из формулы площади: $S = a \cdot h_1$. $54 = 4,5 \cdot h_1$ $h_1 = \frac{54}{4,5} = \frac{540}{45} = 12$ см. Найдем $h_2$ из формулы площади: $S = b \cdot h_2$. $54 = 6 \cdot h_2$ $h_2 = \frac{54}{6} = 9$ см. Таким образом, высоты параллелограмма равны 12 см и 9 см.

Ответ: $h_1 = 12$ см, $h_2 = 9$ см.