Номер 560, страница 150 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции. 59. Площадь трапеции. Глава 7. Площадь - номер 560, страница 150.

560 Пусть a и b — смежные стороны параллелограмма, S — площадь, а h₁ и h₂ — его высоты. Найдите:

а) h₂, если а = 18 см, b = 30 см, h₁ = 6 см, h₂ > h₁;

б) h₁, если а = 10 см, b = 15 см, h₂ = 6 см, h₂ > h₁;

в) h₁ и h₂, если S = 54 см², а = 4,5 см, b = 6 см.

Площадь параллелограмма $S$ можно вычислить по формуле, умножив длину стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Для двух смежных сторон $a$ и $b$ и соответствующих им высот $h_a$ и $h_b$ справедливо равенство, так как площадь фигуры едина: $S = a \cdot h_a = b \cdot h_b$.

Важным свойством параллелограмма является то, что к большей стороне проведена меньшая высота, а к меньшей стороне — большая. То есть, если $a < b$, то $h_a > h_b$.

а)

Даны стороны $a = 18$ см и $b = 30$ см, и высота $h_1 = 6$ см. Также известно, что $h_2 > h_1$. Сравним стороны: $a < b$ (поскольку $18 < 30$). Это означает, что высота, проведенная к стороне $a$, должна быть больше высоты, проведенной к стороне $b$. Из условия $h_2 > h_1$ следует, что $h_2$ — это большая высота, а $h_1$ — меньшая. Следовательно, большая высота $h_2$ соответствует меньшей стороне $a$ ($h_a = h_2$), а меньшая высота $h_1$ — большей стороне $b$ ($h_b = h_1 = 6$ см). Используем равенство площадей: $a \cdot h_a = b \cdot h_b$ Подставим известные значения: $18 \cdot h_2 = 30 \cdot 6$ $18 \cdot h_2 = 180$ $h_2 = \frac{180}{18}$ $h_2 = 10$ см.

Ответ: $h_2 = 10$ см.

б)

Даны стороны $a = 10$ см и $b = 15$ см, и высота $h_2 = 6$ см. Также известно, что $h_2 > h_1$. Сравним стороны: $a < b$ (поскольку $10 < 15$). Значит, высота к стороне $a$ больше высоты к стороне $b$ ($h_a > h_b$). Из условия $h_2 > h_1$ следует, что $h_2$ — большая высота, а $h_1$ — меньшая. Таким образом, большая высота $h_2$ проведена к меньшей стороне $a$ ($h_a = h_2 = 6$ см), а меньшая высота $h_1$ — к большей стороне $b$ ($h_b = h_1$). Запишем равенство площадей: $a \cdot h_a = b \cdot h_b$ Подставим значения: $10 \cdot 6 = 15 \cdot h_1$ $60 = 15 \cdot h_1$ $h_1 = \frac{60}{15}$ $h_1 = 4$ см.

Ответ: $h_1 = 4$ см.

в)

Дана площадь $S = 54$ см?, и стороны $a = 4,5$ см и $b = 6$ см. Требуется найти высоты $h_1$ и $h_2$. Примем, что $h_1$ — это высота, проведенная к стороне $a$, а $h_2$ — высота, проведенная к стороне $b$. Найдем $h_1$ из формулы площади: $S = a \cdot h_1$. $54 = 4,5 \cdot h_1$ $h_1 = \frac{54}{4,5} = \frac{540}{45} = 12$ см. Найдем $h_2$ из формулы площади: $S = b \cdot h_2$. $54 = 6 \cdot h_2$ $h_2 = \frac{54}{6} = 9$ см. Таким образом, высоты параллелограмма равны 12 см и 9 см.

Ответ: $h_1 = 12$ см, $h_2 = 9$ см.