Номер 565, страница 151 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции. 59. Площадь трапеции. Глава 7. Площадь - номер 565, страница 151.

565 Стороны AB и ВС треугольника ABC равны соответственно 16 см и 22 см, а высота, проведённая к стороне AB, равна 11 см. Найдите высоту, проведённую к стороне ВС.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$, где $a$ – сторона треугольника, а $h_a$ – высота, проведённая к этой стороне.

Пусть в треугольнике $ABC$ сторона $AB = 16$ см, а сторона $BC = 22$ см. Высота, проведённая к стороне $AB$, пусть будет $h_{AB} = 11$ см. Нам необходимо найти высоту, проведённую к стороне $BC$, которую обозначим $h_{BC}$.

Площадь треугольника $ABC$ не зависит от того, какую сторону мы выберем в качестве основания для её вычисления. Поэтому мы можем приравнять выражения для площади, вычисленные через разные стороны и соответствующие им высоты.

С одной стороны, площадь треугольника равна:$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_{AB}$

С другой стороны, она же равна:$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_{BC}$

Приравняем правые части этих двух равенств:$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_{AB} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_{BC}$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от множителя $\frac{1}{2}$:$AB \cdot h_{AB} = BC \cdot h_{BC}$

Теперь подставим известные значения в полученное уравнение:$16 \cdot 11 = 22 \cdot h_{BC}$

$176 = 22 \cdot h_{BC}$

Выразим из этого уравнения искомую высоту $h_{BC}$:$h_{BC} = \frac{176}{22}$

$h_{BC} = 8$ см.

Ответ: 8 см.