Номер 572, страница 151 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции. 59. Площадь трапеции. Глава 7. Площадь - номер 572, страница 151.

572 Сравните площади двух треугольников, на которые разделяется данный треугольник его медианой.

Пусть дан произвольный треугольник, который мы обозначим как $\triangle ABC$. Проведем в нем медиану из вершины $B$ к стороне $AC$. Обозначим точку пересечения медианы со стороной $AC$ как $M$.

По определению, медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Следовательно, точка $M$ является серединой стороны $AC$. Это означает, что длины отрезков $AM$ и $MC$ равны: $AM = MC$

Медиана $BM$ разделяет треугольник $\triangle ABC$ на два новых треугольника: $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$. Нам необходимо сравнить их площади, которые мы обозначим как $S_{\triangle ABM}$ и $S_{\triangle CBM}$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$ где $a$ — длина основания треугольника, а $h_a$ — длина высоты, проведенной к этому основанию.

Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на сторону $AC$ (или на ее продолжение). Эта высота $BH$ будет общей для обоих треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$, так как их основания $AM$ и $MC$ лежат на одной прямой $AC$.

Теперь вычислим площадь каждого из двух треугольников.

Для треугольника $\triangle ABM$ основанием является сторона $AM$, а высотой — $BH$. Его площадь равна: $S_{\triangle ABM} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot BH$

Для треугольника $\triangle CBM$ основанием является сторона $CM$, а высотой — та же самая высота $BH$. Его площадь равна: $S_{\triangle CBM} = \frac{1}{2} \cdot CM \cdot BH$

Теперь мы можем сравнить площади этих двух треугольников. Мы знаем, что их высоты $BH$ равны (так как это общая высота), и их основания $AM$ и $CM$ также равны (так как $BM$ — медиана).

Поскольку $AM = MC$ и $BH = BH$, то правые части формул для площадей равны: $\frac{1}{2} \cdot AM \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot CM \cdot BH$

Следовательно, равны и сами площади: $S_{\triangle ABM} = S_{\triangle CBM}$

Это доказывает, что медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника (т.е. треугольника с равными площадями).

Ответ: Площади двух треугольников, на которые медиана разделяет данный треугольник, равны.