Номер 572, страница 151 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Площадь. Параграф 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции. 59. Площадь трапеции - номер 572, страница 151.

Условие.

572 Сравните площади двух треугольников, на которые разделяется данный треугольник его медианой.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Пусть дан произвольный треугольник, который мы обозначим как $\triangle ABC$. Проведем в нем медиану из вершины $B$ к стороне $AC$. Обозначим точку пересечения медианы со стороной $AC$ как $M$.

По определению, медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Следовательно, точка $M$ является серединой стороны $AC$. Это означает, что длины отрезков $AM$ и $MC$ равны: $AM = MC$

Медиана $BM$ разделяет треугольник $\triangle ABC$ на два новых треугольника: $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$. Нам необходимо сравнить их площади, которые мы обозначим как $S_{\triangle ABM}$ и $S_{\triangle CBM}$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$ где $a$ — длина основания треугольника, а $h_a$ — длина высоты, проведенной к этому основанию.

Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на сторону $AC$ (или на ее продолжение). Эта высота $BH$ будет общей для обоих треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$, так как их основания $AM$ и $MC$ лежат на одной прямой $AC$.

Теперь вычислим площадь каждого из двух треугольников.

Для треугольника $\triangle ABM$ основанием является сторона $AM$, а высотой — $BH$. Его площадь равна: $S_{\triangle ABM} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot BH$

Для треугольника $\triangle CBM$ основанием является сторона $CM$, а высотой — та же самая высота $BH$. Его площадь равна: $S_{\triangle CBM} = \frac{1}{2} \cdot CM \cdot BH$

Теперь мы можем сравнить площади этих двух треугольников. Мы знаем, что их высоты $BH$ равны (так как это общая высота), и их основания $AM$ и $CM$ также равны (так как $BM$ — медиана).

Поскольку $AM = MC$ и $BH = BH$, то правые части формул для площадей равны: $\frac{1}{2} \cdot AM \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot CM \cdot BH$

Следовательно, равны и сами площади: $S_{\triangle ABM} = S_{\triangle CBM}$

Это доказывает, что медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника (т.е. треугольника с равными площадями).

Ответ: Площади двух треугольников, на которые медиана разделяет данный треугольник, равны.