Номер 574, страница 152 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции. 59. Площадь трапеции. Глава 7. Площадь - номер 574, страница 152.

574 Докажите, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Вычислите площадь ромба, если его диагонали равны: а) 3,2 дм и 14 см; б) 4,6 дм и 2 дм.

Доказательство того, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

Пусть дан ромб с диагоналями $d_1$ и $d_2$. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. Эти диагонали разделяют ромб на четыре одинаковых прямоугольных треугольника.

Рассмотрим один из таких треугольников. Его катеты равны половинам диагоналей ромба, то есть $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов. Таким образом, площадь одного из четырех треугольников составляет:

$S_{треуг.} = \frac{1}{2} \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} = \frac{d_1 d_2}{8}$

Поскольку ромб состоит из четырех таких равных треугольников, его общая площадь $S_{ромба}$ равна сумме их площадей:

$S_{ромба} = 4 \cdot S_{треуг.} = 4 \cdot \frac{d_1 d_2}{8} = \frac{1}{2} d_1 d_2$

Таким образом, формула площади ромба через его диагонали доказана.

Вычисление площади ромба:

а) Диагонали ромба равны 3,2 дм и 14 см.

Сначала приведем обе величины к одной единице измерения, например, к сантиметрам.

$d_1 = 3,2 \text{ дм} = 3,2 \cdot 10 \text{ см} = 32 \text{ см}$

$d_2 = 14 \text{ см}$

Теперь вычислим площадь по формуле:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 32 \text{ см} \cdot 14 \text{ см} = 16 \text{ см} \cdot 14 \text{ см} = 224 \text{ см}^2$

Ответ: $224 \text{ см}^2$.

б) Диагонали ромба равны 4,6 дм и 2 дм.

Единицы измерения уже одинаковы, поэтому можно сразу использовать формулу:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 4,6 \text{ дм} \cdot 2 \text{ дм} = 4,6 \text{ дм}^2$

Ответ: $4,6 \text{ дм}^2$.