Номер 577, страница 152 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Площадь. Параграф 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции. 59. Площадь трапеции - номер 577, страница 152.

Условие.

577 Точки D и Е лежат на сторонах AB и АС треугольника ABC. Найдите: а) S_ADE, если AB = 5 см, АС = 6 см, АD = 3 см, АЕ = 2 см, S_ABС = 10 см²; б) AD, если AB = 8 см, АС = 3 см, АЕ = 2 см, S_ABC = 10 см², S_ADE = 2 см².

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

Для решения задачи воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и синус угла между ними. Так как точки $D$ и $E$ лежат на сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$, то треугольники $ADE$ и $ABC$ имеют общий угол $A$.

Площадь треугольника $ABC$ выражается формулой: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)$.

Площадь треугольника $ADE$ выражается формулой: $S_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AE \cdot \sin(\angle A)$.

Найдем отношение площадей этих треугольников, разделив одно выражение на другое:

$\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AD \cdot AE \cdot \sin(\angle A)}{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)} = \frac{AD \cdot AE}{AB \cdot AC}$

Эта формула устанавливает, что отношение площадей двух треугольников, имеющих общий угол, равно отношению произведений сторон, заключающих этот угол. Мы будем использовать эту формулу для решения обоих пунктов.

а) Найти $S_{ADE}$, если $AB = 5$ см, $AC = 6$ см, $AD = 3$ см, $AE = 2$ см, $S_{ABC} = 10$ см?.

Подставим известные значения в выведенную формулу:

$\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \frac{AD \cdot AE}{AB \cdot AC}$

$\frac{S_{ADE}}{10} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 6}$

$\frac{S_{ADE}}{10} = \frac{6}{30}$

$\frac{S_{ADE}}{10} = \frac{1}{5}$

Теперь выразим $S_{ADE}$:

$S_{ADE} = \frac{10}{5} = 2$ см?.

Ответ: $S_{ADE} = 2$ см?.

б) Найти $AD$, если $AB = 8$ см, $AC = 3$ см, $AE = 2$ см, $S_{ABC} = 10$ см?, $S_{ADE} = 2$ см?.

Воспользуемся той же формулой отношения площадей. Подставим в нее известные значения:

$\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \frac{AD \cdot AE}{AB \cdot AC}$

$\frac{2}{10} = \frac{AD \cdot 2}{8 \cdot 3}$

Упростим обе части уравнения:

$\frac{1}{5} = \frac{2 \cdot AD}{24}$

$\frac{1}{5} = \frac{AD}{12}$

Теперь выразим и вычислим $AD$:

$AD = \frac{12}{5} = 2.4$ см.

Ответ: $AD = 2.4$ см.