Номер 576, страница 152 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции. 59. Площадь трапеции. Глава 7. Площадь - номер 576, страница 152.

576 В выпуклом четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей.

Дано:
Пусть $ABCD$ — выпуклый четырёхугольник.
$AC$ и $BD$ — его диагонали.
По условию, диагонали взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$.

Доказать:
Площадь четырёхугольника $S_{ABCD}$ равна половине произведения его диагоналей: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} AC \cdot BD$.

Доказательство:
Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Так как диагонали перпендикулярны, они разбивают четырёхугольник $ABCD$ на четыре прямоугольных треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$.

Площадь всего четырёхугольника равна сумме площадей этих четырёх треугольников: $S_{ABCD} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle BOC} + S_{\triangle COD} + S_{\triangle DOA}$

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов. В наших треугольниках катетами являются отрезки, на которые точка пересечения $O$ делит диагонали.

• Площадь $\triangle AOB$ равна $S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} AO \cdot BO$
• Площадь $\triangle BOC$ равна $S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} BO \cdot CO$
• Площадь $\triangle COD$ равна $S_{\triangle COD} = \frac{1}{2} CO \cdot DO$
• Площадь $\triangle DOA$ равна $S_{\triangle DOA} = \frac{1}{2} DO \cdot AO$

Теперь сложим площади всех треугольников, чтобы найти площадь четырёхугольника: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} AO \cdot BO + \frac{1}{2} BO \cdot CO + \frac{1}{2} CO \cdot DO + \frac{1}{2} DO \cdot AO$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки и сгруппируем слагаемые: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} ( (AO \cdot BO + CO \cdot BO) + (CO \cdot DO + AO \cdot DO) )$

В каждой паре слагаемых в скобках вынесем общий множитель: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} ( BO \cdot (AO + CO) + DO \cdot (AO + CO) )$

Теперь можно вынести общий множитель $(AO + CO)$: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} ( (BO + DO) \cdot (AO + CO) )$

Заметим, что суммы длин отрезков в скобках равны длинам диагоналей четырёхугольника: $AO + CO = AC$
$BO + DO = BD$

Подставим эти значения в нашу формулу: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} BD \cdot AC$

Таким образом, мы доказали, что площадь выпуклого четырёхугольника с взаимно перпендикулярными диагоналями равна половине произведения длин этих диагоналей, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.