Номер 576, страница 152 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Площадь. Параграф 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции. 59. Площадь трапеции - номер 576, страница 152.

Условие.

576 В выпуклом четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 11.

Дано:
Пусть $ABCD$ — выпуклый четырёхугольник.
$AC$ и $BD$ — его диагонали.
По условию, диагонали взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$.

Доказать:
Площадь четырёхугольника $S_{ABCD}$ равна половине произведения его диагоналей: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} AC \cdot BD$.

Доказательство:
Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Так как диагонали перпендикулярны, они разбивают четырёхугольник $ABCD$ на четыре прямоугольных треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$.

Площадь всего четырёхугольника равна сумме площадей этих четырёх треугольников: $S_{ABCD} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle BOC} + S_{\triangle COD} + S_{\triangle DOA}$

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов. В наших треугольниках катетами являются отрезки, на которые точка пересечения $O$ делит диагонали.

• Площадь $\triangle AOB$ равна $S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} AO \cdot BO$
• Площадь $\triangle BOC$ равна $S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} BO \cdot CO$
• Площадь $\triangle COD$ равна $S_{\triangle COD} = \frac{1}{2} CO \cdot DO$
• Площадь $\triangle DOA$ равна $S_{\triangle DOA} = \frac{1}{2} DO \cdot AO$

Теперь сложим площади всех треугольников, чтобы найти площадь четырёхугольника: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} AO \cdot BO + \frac{1}{2} BO \cdot CO + \frac{1}{2} CO \cdot DO + \frac{1}{2} DO \cdot AO$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки и сгруппируем слагаемые: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} ( (AO \cdot BO + CO \cdot BO) + (CO \cdot DO + AO \cdot DO) )$

В каждой паре слагаемых в скобках вынесем общий множитель: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} ( BO \cdot (AO + CO) + DO \cdot (AO + CO) )$

Теперь можно вынести общий множитель $(AO + CO)$: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} ( (BO + DO) \cdot (AO + CO) )$

Заметим, что суммы длин отрезков в скобках равны длинам диагоналей четырёхугольника: $AO + CO = AC$
$BO + DO = BD$

Подставим эти значения в нашу формулу: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} BD \cdot AC$

Таким образом, мы доказали, что площадь выпуклого четырёхугольника с взаимно перпендикулярными диагоналями равна половине произведения длин этих диагоналей, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.