Номер 582, страница 156 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

62. Формула Герона. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 582, страница 156.

582 В прямоугольном треугольнике a и b — катеты, с — гипотенуза. Найдите b, если:

а) а = 12, с = 13;

б) а = 7, с = 9;

в) а = 12, с = 2b;

г) a = 23, с = 2b;

д) а = 3b, c = 210.

Для решения задачи используется теорема Пифагора для прямоугольного треугольника, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$.

а)

Дано: катет $a = 12$, гипотенуза $c = 13$.
Чтобы найти катет $b$, выразим его из теоремы Пифагора: $b^2 = c^2 - a^2$.
Подставим известные значения:
$b^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$
$b = \sqrt{25} = 5$ (так как длина стороны является положительной величиной).

Ответ: $5$.

б)

Дано: катет $a = 7$, гипотенуза $c = 9$.
Используем ту же формулу: $b^2 = c^2 - a^2$.
$b^2 = 9^2 - 7^2 = 81 - 49 = 32$
$b = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.

Ответ: $4\sqrt{2}$.

в)

Дано: катет $a = 12$, гипотенуза $c = 2b$.
Подставим эти выражения в теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$ и решим уравнение относительно $b$:
$12^2 + b^2 = (2b)^2$
$144 + b^2 = 4b^2$
$4b^2 - b^2 = 144$
$3b^2 = 144$
$b^2 = \frac{144}{3} = 48$
$b = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$.

Ответ: $4\sqrt{3}$.

г)

Дано: катет $a = 2\sqrt{3}$, гипотенуза $c = 2b$.
Подставляем в теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:
$(2\sqrt{3})^2 + b^2 = (2b)^2$
$4 \cdot 3 + b^2 = 4b^2$
$12 + b^2 = 4b^2$
$3b^2 = 12$
$b^2 = \frac{12}{3} = 4$
$b = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: $2$.

д)

Дано: катет $a = 3b$, гипотенуза $c = 2\sqrt{10}$.
Подставляем в теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:
$(3b)^2 + b^2 = (2\sqrt{10})^2$
$9b^2 + b^2 = 4 \cdot 10$
$10b^2 = 40$
$b^2 = \frac{40}{10} = 4$
$b = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: $2$.