Номер 587, страница 157 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

62. Формула Герона. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 587, страница 157.

587 Докажите, что площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле S = a²34, где a — сторона треугольника. Найдите площадь равностороннего треугольника, если его сторона равна:
а) 5 см; б) 1,2 см; в) 22 дм.

Доказательство формулы площади равностороннего треугольника:

Пусть дан равносторонний треугольник со стороной $a$. Все его стороны равны $a$, и все углы равны $60^\circ$.

Площадь любого треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}bh$, где $b$ — длина основания, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию.

1. Возьмем в качестве основания $b$ одну из сторон треугольника, тогда $b=a$.

2. Проведем к этому основанию высоту $h$. В равностороннем треугольнике высота является также медианой и биссектрисой. Как медиана, она делит основание на два равных отрезка, каждый длиной $\frac{a}{2}$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, стороной треугольника $a$ (которая является гипотенузой) и половиной основания $\frac{a}{2}$ (которая является катетом). По теореме Пифагора: $h^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2$

4. Выразим из этого уравнения высоту $h$: $h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{4a^2 - a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$
$h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

5. Теперь подставим значения основания $b=a$ и высоты $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ в общую формулу площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
Таким образом, формула доказана.

Нахождение площади равностороннего треугольника для заданных сторон:

а) Дано $a = 5$ см. Подставим это значение в формулу:
$S = \frac{5^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{25\sqrt{3}}{4}$ см$^2$.
Ответ: $\frac{25\sqrt{3}}{4}$ см$^2$.

б) Дано $a = 1,2$ см. Подставим это значение в формулу:
$S = \frac{(1,2)^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{1,44\sqrt{3}}{4} = 0,36\sqrt{3}$ см$^2$.
Ответ: $0,36\sqrt{3}$ см$^2$.

в) Дано $a = 2\sqrt{2}$ дм. Подставим это значение в формулу:
$S = \frac{(2\sqrt{2})^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{(2^2 \cdot (\sqrt{2})^2) \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{(4 \cdot 2)\sqrt{3}}{4} = \frac{8\sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3}$ дм$^2$.
Ответ: $2\sqrt{3}$ дм$^2$.