Номер 590, страница 157 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора. 62. Формула Герона - номер 590, страница 157.

Условие.

590 Найдите высоты треугольника со сторонами 10 см, 10 см и 12 см.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 11.

Данный треугольник является равнобедренным, так как две его стороны равны 10 см. Обозначим боковые стороны как $a = 10$ см и $b = 10$ см, а основание как $c = 12$ см. В треугольнике три высоты: $h_a$ (к стороне a), $h_b$ (к стороне b) и $h_c$ (к стороне c). Так как стороны $a$ и $b$ равны, то и высоты, проведенные к ним, будут равны: $h_a = h_b$. Таким образом, нам нужно найти две разные высоты.

1. Нахождение высоты, проведенной к основанию ($h_c$)

В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, является также медианой. Это означает, что она делит основание $c$ на два равных отрезка. Длина каждого отрезка будет $12 / 2 = 6$ см.

Эта высота ($h_c$) образует два одинаковых прямоугольных треугольника. В каждом из них гипотенузой является боковая сторона (10 см), одним катетом — половина основания (6 см), а вторым катетом — сама высота $h_c$.

Применим теорему Пифагора ($(\text{катет})^2 + (\text{катет})^2 = (\text{гипотенуза})^2$):

$h_c^2 + 6^2 = 10^2$

$h_c^2 + 36 = 100$

$h_c^2 = 100 - 36$

$h_c^2 = 64$

$h_c = \sqrt{64} = 8$ см.

Итак, высота, проведенная к стороне 12 см, равна 8 см.

2. Нахождение высот, проведенных к боковым сторонам ($h_a$ и $h_b$)

Для нахождения остальных высот используем формулу площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

Сначала вычислим площадь треугольника, используя уже найденную высоту $h_c = 8$ см и соответствующее ей основание $c = 12$ см:

$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$ см$^2$.

Теперь, зная площадь, мы можем найти высоту $h_a$, проведенную к боковой стороне $a = 10$ см:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$

Выразим отсюда высоту $h_a$:

$h_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \cdot 48}{10} = \frac{96}{10} = 9,6$ см.

Поскольку треугольник равнобедренный и $a = b = 10$ см, то высота $h_b$ равна высоте $h_a$.

$h_b = h_a = 9,6$ см.

Ответ: высоты треугольника равны 8 см, 9,6 см и 9,6 см.