Номер 590, страница 157 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

62. Формула Герона. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 590, страница 157.

590 Найдите высоты треугольника со сторонами 10 см, 10 см и 12 см.

Данный треугольник является равнобедренным, так как две его стороны равны 10 см. Обозначим боковые стороны как $a = 10$ см и $b = 10$ см, а основание как $c = 12$ см. В треугольнике три высоты: $h_a$ (к стороне a), $h_b$ (к стороне b) и $h_c$ (к стороне c). Так как стороны $a$ и $b$ равны, то и высоты, проведенные к ним, будут равны: $h_a = h_b$. Таким образом, нам нужно найти две разные высоты.

1. Нахождение высоты, проведенной к основанию ($h_c$)

В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, является также медианой. Это означает, что она делит основание $c$ на два равных отрезка. Длина каждого отрезка будет $12 / 2 = 6$ см.

Эта высота ($h_c$) образует два одинаковых прямоугольных треугольника. В каждом из них гипотенузой является боковая сторона (10 см), одним катетом — половина основания (6 см), а вторым катетом — сама высота $h_c$.

Применим теорему Пифагора ($(\text{катет})^2 + (\text{катет})^2 = (\text{гипотенуза})^2$):

$h_c^2 + 6^2 = 10^2$

$h_c^2 + 36 = 100$

$h_c^2 = 100 - 36$

$h_c^2 = 64$

$h_c = \sqrt{64} = 8$ см.

Итак, высота, проведенная к стороне 12 см, равна 8 см.

2. Нахождение высот, проведенных к боковым сторонам ($h_a$ и $h_b$)

Для нахождения остальных высот используем формулу площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

Сначала вычислим площадь треугольника, используя уже найденную высоту $h_c = 8$ см и соответствующее ей основание $c = 12$ см:

$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$ см$^2$.

Теперь, зная площадь, мы можем найти высоту $h_a$, проведенную к боковой стороне $a = 10$ см:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$

Выразим отсюда высоту $h_a$:

$h_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \cdot 48}{10} = \frac{96}{10} = 9,6$ см.

Поскольку треугольник равнобедренный и $a = b = 10$ см, то высота $h_b$ равна высоте $h_a$.

$h_b = h_a = 9,6$ см.

Ответ: высоты треугольника равны 8 см, 9,6 см и 9,6 см.