Номер 595, страница 157 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

62. Формула Герона. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 595, страница 157.

595 Одна из диагоналей параллелограмма является его высотой. Найдите эту диагональ, если периметр параллелограмма равен 50 см, а разность смежных сторон равна 1 см.

Пусть смежные стороны параллелограмма равны $a$ и $b$. Согласно условию, периметр параллелограмма равен 50 см, а разность смежных сторон равна 1 см.

Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. Подставим известные значения:
$2(a + b) = 50$
$a + b = 25$

Разность смежных сторон равна 1 см. Предположим, что $a$ — большая сторона, тогда:
$a - b = 1$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} a + b = 25 \\ a - b = 1 \end{cases}$

Сложим два уравнения, чтобы найти сторону $a$:
$(a + b) + (a - b) = 25 + 1$
$2a = 26$
$a = 13$ см

Теперь подставим значение $a$ в первое уравнение, чтобы найти сторону $b$:
$13 + b = 25$
$b = 25 - 13$
$b = 12$ см

Таким образом, длины смежных сторон параллелограмма равны 13 см и 12 см.

По условию, одна из диагоналей параллелограмма является его высотой. Обозначим эту диагональ как $d$. Это означает, что диагональ перпендикулярна одной из сторон, образуя прямоугольный треугольник. Сторонами этого треугольника являются диагональ $d$ и две смежные стороны параллелограмма $a$ и $b$.

В прямоугольном треугольнике наибольшая сторона является гипотенузой. В нашем случае, так как $a=13$ см и $b=12$ см, гипотенузой будет сторона $a$. Диагональ $d$ и сторона $b$ будут катетами этого треугольника.

Применим теорему Пифагора $d^2 + b^2 = a^2$:
$d^2 + 12^2 = 13^2$
$d^2 + 144 = 169$
$d^2 = 169 - 144$
$d^2 = 25$
$d = \sqrt{25} = 5$ см

Ответ: 5 см.