Номер 600, страница 158 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

62. Формула Герона. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 600, страница 158.

600 Около прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С описана окружность. Найдите радиус этой окружности, если: а) АС = 8 см, ВС = 6 см; б) АС = 18 см, ∠B = 30°.

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, совпадает с серединой его гипотенузы. Следовательно, радиус $R$ этой окружности равен половине длины гипотенузы. Для треугольника $ABC$ с прямым углом $C$, гипотенузой является сторона $AB$.

$R = \frac{AB}{2}$

а)

По условию, в прямоугольном треугольнике $ABC$ известны длины катетов: $AC = 8$ см и $BC = 6$ см. Найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора:

$AB^2 = AC^2 + BC^2$

$AB^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$

$AB = \sqrt{100} = 10$ см.

Теперь вычислим радиус описанной окружности:

$R = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Ответ: 5 см.

б)

По условию, в прямоугольном треугольнике $ABC$ известны длина катета $AC = 18$ см и величина противолежащего ему угла $\angle B = 30°$.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению длины противолежащего катета к длине гипотенузы:

$\sin(\angle B) = \frac{AC}{AB}$

Из этой формулы выразим гипотенузу $AB$:

$AB = \frac{AC}{\sin(\angle B)}$

Подставим известные значения, зная, что $\sin(30°) = \frac{1}{2}$:

$AB = \frac{18}{\sin(30°)} = \frac{18}{1/2} = 18 \cdot 2 = 36$ см.

Теперь вычислим радиус описанной окружности:

$R = \frac{AB}{2} = \frac{36}{2} = 18$ см.

Ответ: 18 см.