Номер 597, страница 157 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

62. Формула Герона. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 597, страница 157.

597 Найдите меньшую высоту треугольника со сторонами, равными: а) 24 см, 25 см, 7 см; б) 15 см, 17 см, 8 см.

а)

Даны стороны треугольника: 24 см, 25 см, 7 см.
Меньшая высота в треугольнике всегда проведена к его наибольшей стороне. Наибольшая сторона в данном треугольнике равна 25 см. Обозначим стороны как $a = 7$ см, $b = 24$ см и $c = 25$ см.
Для нахождения высоты сначала необходимо вычислить площадь треугольника ($S$). Проверим, является ли данный треугольник прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора.
Сумма квадратов меньших сторон: $a^2 + b^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$.
Квадрат большей стороны: $c^2 = 25^2 = 625$.
Поскольку $a^2 + b^2 = c^2$, треугольник является прямоугольным, где катеты равны 7 см и 24 см, а гипотенуза — 25 см.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 24 = 84$ см$^2$.
Площадь треугольника также можно выразить через высоту ($h_c$), проведенную к стороне $c$ (гипотенузе):
$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c$.
Меньшая высота ($h_{min}$) — это высота, проведенная к наибольшей стороне $c = 25$ см.
$84 = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot h_{min}$
$h_{min} = \frac{2 \cdot 84}{25} = \frac{168}{25} = 6,72$ см.
Ответ: 6,72 см.

б)

Даны стороны треугольника: 15 см, 17 см, 8 см.
Меньшая высота проведена к наибольшей стороне, которая равна 17 см. Обозначим стороны как $a = 8$ см, $b = 15$ см и $c = 17$ см.
Проверим, является ли треугольник прямоугольным:
Сумма квадратов меньших сторон: $a^2 + b^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$.
Квадрат большей стороны: $c^2 = 17^2 = 289$.
Поскольку $a^2 + b^2 = c^2$, треугольник является прямоугольным с катетами 8 см и 15 см и гипотенузой 17 см.
Вычислим площадь ($S$) этого треугольника:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 = 60$ см$^2$.
Меньшая высота ($h_{min}$) проведена к наибольшей стороне $c = 17$ см. Найдем ее из формулы площади:
$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_{min}$
$60 = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot h_{min}$
$h_{min} = \frac{2 \cdot 60}{17} = \frac{120}{17}$ см.
Ответ: $\frac{120}{17}$ см.