Номер 592, страница 157 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

62. Формула Герона. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 592, страница 157.

592 Найдите диагональ и площадь ромба, если его сторона равна 10 см, а другая диагональ — 12 см.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами ромба. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Они делят ромб на четыре одинаковых прямоугольных треугольника.

Нахождение второй диагонали

В каждом из четырех прямоугольных треугольников, образованных диагоналями, гипотенузой является сторона ромба, а катетами — половины диагоналей.

Дано:

• Сторона ромба (гипотенуза) $a = 10$ см.
• Одна диагональ $d_1 = 12$ см.

Один из катетов прямоугольного треугольника равен половине известной диагонали:

$d_1 / 2 = 12 / 2 = 6$ см.

Второй катет — это половина неизвестной диагонали, обозначим ее $d_2/2$.

По теореме Пифагора ($a^2 = b^2 + c^2$), где $a$ — гипотенуза, а $b$ и $c$ — катеты, мы можем найти половину второй диагонали:

$a^2 = (d_1/2)^2 + (d_2/2)^2$

$10^2 = 6^2 + (d_2/2)^2$

$100 = 36 + (d_2/2)^2$

$(d_2/2)^2 = 100 - 36$

$(d_2/2)^2 = 64$

$d_2/2 = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь найдем полную длину второй диагонали:

$d_2 = 8 \times 2 = 16$ см.

Ответ: вторая диагональ равна 16 см.

Нахождение площади

Площадь ромба вычисляется как половина произведения его диагоналей.

Формула площади ромба:

$S = (d_1 \times d_2) / 2$

Мы знаем обе диагонали:

• $d_1 = 12$ см
• $d_2 = 16$ см

Подставим эти значения в формулу:

$S = (12 \times 16) / 2$

$S = 192 / 2$

$S = 96$ см?.

Ответ: площадь ромба равна 96 см?.