Страница 157 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

587 Докажите, что площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле S = a²34, где a — сторона треугольника. Найдите площадь равностороннего треугольника, если его сторона равна:
а) 5 см; б) 1,2 см; в) 22 дм.

Доказательство формулы площади равностороннего треугольника:

Пусть дан равносторонний треугольник со стороной $a$. Все его стороны равны $a$, и все углы равны $60^\circ$.

Площадь любого треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}bh$, где $b$ — длина основания, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию.

1. Возьмем в качестве основания $b$ одну из сторон треугольника, тогда $b=a$.

2. Проведем к этому основанию высоту $h$. В равностороннем треугольнике высота является также медианой и биссектрисой. Как медиана, она делит основание на два равных отрезка, каждый длиной $\frac{a}{2}$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, стороной треугольника $a$ (которая является гипотенузой) и половиной основания $\frac{a}{2}$ (которая является катетом). По теореме Пифагора: $h^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2$

4. Выразим из этого уравнения высоту $h$: $h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{4a^2 - a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$
$h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

5. Теперь подставим значения основания $b=a$ и высоты $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ в общую формулу площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
Таким образом, формула доказана.

Нахождение площади равностороннего треугольника для заданных сторон:

а) Дано $a = 5$ см. Подставим это значение в формулу:
$S = \frac{5^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{25\sqrt{3}}{4}$ см$^2$.
Ответ: $\frac{25\sqrt{3}}{4}$ см$^2$.

б) Дано $a = 1,2$ см. Подставим это значение в формулу:
$S = \frac{(1,2)^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{1,44\sqrt{3}}{4} = 0,36\sqrt{3}$ см$^2$.
Ответ: $0,36\sqrt{3}$ см$^2$.

в) Дано $a = 2\sqrt{2}$ дм. Подставим это значение в формулу:
$S = \frac{(2\sqrt{2})^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{(2^2 \cdot (\sqrt{2})^2) \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{(4 \cdot 2)\sqrt{3}}{4} = \frac{8\sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3}$ дм$^2$.
Ответ: $2\sqrt{3}$ дм$^2$.

588 Найдите боковую сторону и площадь равнобедренного треугольника, если: а) основание равно 12 см, а высота, проведённая к основанию, равна 8 см; б) основание равно 18 см, а угол, противолежащий основанию, равен 120°; в) треугольник прямоугольный и высота, проведённая к гипотенузе, равна 7 см.

а)

Дан равнобедренный треугольник, у которого основание $a = 12$ см, а высота, проведённая к основанию, $h_a = 8$ см.

1. Найдём площадь треугольника. Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$, где $a$ — основание, а $h_a$ — высота, проведённая к этому основанию.
$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 6 \cdot 8 = 48$ см$^2$.

2. Найдём боковую сторону. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой и биссектрисой. Как медиана, она делит основание на два равных отрезка.
Эта высота делит исходный треугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника. Катетами такого прямоугольного треугольника являются высота ($h_a = 8$ см) и половина основания ($\frac{a}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см). Боковая сторона исходного треугольника является гипотенузой этого прямоугольного треугольника. Обозначим её $b$.
По теореме Пифагора ($c^2 = a^2 + b^2$):
$b^2 = h_a^2 + (\frac{a}{2})^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$.
$b = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: боковая сторона 10 см, площадь 48 см$^2$.

б)

Дан равнобедренный треугольник, у которого основание $a = 18$ см, а угол, противолежащий основанию (угол при вершине), равен $120^\circ$.

1. Найдём боковую сторону. Обозначим боковую сторону как $b$. Проведём высоту из вершины к основанию. В равнобедренном треугольнике эта высота является также биссектрисой и медианой.
Как биссектриса, она делит угол при вершине пополам: $\frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.
Как медиана, она делит основание пополам: $\frac{18}{2} = 9$ см.
Высота делит наш треугольник на два равных прямоугольных треугольника. В каждом из них: гипотенуза — это боковая сторона $b$, один из острых углов равен $60^\circ$, а противолежащий этому углу катет равен 9 см.
Используя определение синуса в прямоугольном треугольнике ($\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$):
$\sin(60^\circ) = \frac{9}{b}$.
Поскольку $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9}{b} \implies b \cdot \sqrt{3} = 18 \implies b = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$ см.

2. Найдём площадь треугольника. Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2} b \cdot b \cdot \sin(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между сторонами $b$.
$S = \frac{1}{2} \cdot (6\sqrt{3})^2 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot (36 \cdot 3) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 108 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 27\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: боковая сторона $6\sqrt{3}$ см, площадь $27\sqrt{3}$ см$^2$.

в)

Дан равнобедренный прямоугольный треугольник, у которого высота, проведённая к гипотенузе, $h_c = 7$ см.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике равные "боковые" стороны являются катетами, а "основанием" — гипотенуза.

1. Найдём гипотенузу и площадь. В любом прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию (в данном случае, к гипотенузе), является также и медианой.
Следовательно, $h_c = \frac{c}{2}$, где $c$ — гипотенуза.
$c = 2 \cdot h_c = 2 \cdot 7 = 14$ см.
Теперь найдём площадь, используя гипотенузу как основание и данную высоту:
$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 7 = 49$ см$^2$.

2. Найдём боковую сторону (катет). Обозначим равные боковые стороны (катеты) как $b$. По теореме Пифагора:
$b^2 + b^2 = c^2$
$2b^2 = 14^2 = 196$.
$b^2 = \frac{196}{2} = 98$.
$b = \sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}$ см.

Ответ: боковая сторона $7\sqrt{2}$ см, площадь 49 см$^2$.

589 По данным катетам a и b прямоугольного треугольника найдите высоту, проведённую к гипотенузе:
а) а = 5, b = 12; б) а = 12, b = 16.

Для нахождения высоты $h$, проведенной к гипотенузе $c$ прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b$, можно использовать формулу, выведенную из метода площадей. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S = \frac{1}{2}ab$. С другой стороны, она же равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней: $S = \frac{1}{2}ch$.

Приравнивая эти два выражения для площади, получаем: $\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch$, что равносильно $ab = ch$.

Отсюда можно выразить высоту: $h = \frac{ab}{c}$.

Гипотенузу $c$ мы найдем по теореме Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$, следовательно, $c = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Подставив выражение для $c$ в формулу для высоты, получаем: $h = \frac{ab}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.

а) Дано: катеты $a = 5$, $b = 12$.

1. Найдем длину гипотенузы $c$ по теореме Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

2. Теперь найдем высоту $h$, проведенную к гипотенузе:

$h = \frac{a \cdot b}{c} = \frac{5 \cdot 12}{13} = \frac{60}{13}$.

Можно представить ответ в виде смешанной дроби: $h = 4\frac{8}{13}$.

Ответ: $\frac{60}{13}$ или $4\frac{8}{13}$.

б) Дано: катеты $a = 12$, $b = 16$.

1. Найдем длину гипотенузы $c$ по теореме Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$.

2. Найдем высоту $h$, проведенную к гипотенузе:

$h = \frac{a \cdot b}{c} = \frac{12 \cdot 16}{20} = \frac{192}{20}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$h = \frac{192 \div 4}{20 \div 4} = \frac{48}{5} = 9,6$.

Ответ: $9,6$.

590 Найдите высоты треугольника со сторонами 10 см, 10 см и 12 см.

Данный треугольник является равнобедренным, так как две его стороны равны 10 см. Обозначим боковые стороны как $a = 10$ см и $b = 10$ см, а основание как $c = 12$ см. В треугольнике три высоты: $h_a$ (к стороне a), $h_b$ (к стороне b) и $h_c$ (к стороне c). Так как стороны $a$ и $b$ равны, то и высоты, проведенные к ним, будут равны: $h_a = h_b$. Таким образом, нам нужно найти две разные высоты.

1. Нахождение высоты, проведенной к основанию ($h_c$)

В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, является также медианой. Это означает, что она делит основание $c$ на два равных отрезка. Длина каждого отрезка будет $12 / 2 = 6$ см.

Эта высота ($h_c$) образует два одинаковых прямоугольных треугольника. В каждом из них гипотенузой является боковая сторона (10 см), одним катетом — половина основания (6 см), а вторым катетом — сама высота $h_c$.

Применим теорему Пифагора ($(\text{катет})^2 + (\text{катет})^2 = (\text{гипотенуза})^2$):

$h_c^2 + 6^2 = 10^2$

$h_c^2 + 36 = 100$

$h_c^2 = 100 - 36$

$h_c^2 = 64$

$h_c = \sqrt{64} = 8$ см.

Итак, высота, проведенная к стороне 12 см, равна 8 см.

2. Нахождение высот, проведенных к боковым сторонам ($h_a$ и $h_b$)

Для нахождения остальных высот используем формулу площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

Сначала вычислим площадь треугольника, используя уже найденную высоту $h_c = 8$ см и соответствующее ей основание $c = 12$ см:

$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$ см$^2$.

Теперь, зная площадь, мы можем найти высоту $h_a$, проведенную к боковой стороне $a = 10$ см:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$

Выразим отсюда высоту $h_a$:

$h_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \cdot 48}{10} = \frac{96}{10} = 9,6$ см.

Поскольку треугольник равнобедренный и $a = b = 10$ см, то высота $h_b$ равна высоте $h_a$.

$h_b = h_a = 9,6$ см.

Ответ: высоты треугольника равны 8 см, 9,6 см и 9,6 см.

591 Найдите сторону и площадь ромба, если его диагонали равны 10 см и 24 см.

Сторона ромба

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Они разделяют ромб на четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Сторона ромба является гипотенузой такого треугольника, а его катеты — это половины диагоналей.

Найдем длины катетов:
Первый катет: $d_1/2 = 10 / 2 = 5$ см.
Второй катет: $d_2/2 = 24 / 2 = 12$ см.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Найдем сторону ромба a:
$a^2 = 5^2 + 12^2$
$a^2 = 25 + 144$
$a^2 = 169$
$a = \sqrt{169}$
$a = 13$ см.

Ответ: 13 см.

Площадь ромба

Площадь ромба S равна половине произведения его диагоналей $d_1$ и $d_2$.
Формула площади: $S = \frac{d_1 \times d_2}{2}$.

Подставим известные значения диагоналей в формулу:
$S = \frac{10 \times 24}{2}$
$S = \frac{240}{2}$
$S = 120$ см².

Ответ: 120 см².

592 Найдите диагональ и площадь ромба, если его сторона равна 10 см, а другая диагональ — 12 см.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами ромба. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Они делят ромб на четыре одинаковых прямоугольных треугольника.

Нахождение второй диагонали

В каждом из четырех прямоугольных треугольников, образованных диагоналями, гипотенузой является сторона ромба, а катетами — половины диагоналей.

Дано:

• Сторона ромба (гипотенуза) $a = 10$ см.
• Одна диагональ $d_1 = 12$ см.

Один из катетов прямоугольного треугольника равен половине известной диагонали:

$d_1 / 2 = 12 / 2 = 6$ см.

Второй катет — это половина неизвестной диагонали, обозначим ее $d_2/2$.

По теореме Пифагора ($a^2 = b^2 + c^2$), где $a$ — гипотенуза, а $b$ и $c$ — катеты, мы можем найти половину второй диагонали:

$a^2 = (d_1/2)^2 + (d_2/2)^2$

$10^2 = 6^2 + (d_2/2)^2$

$100 = 36 + (d_2/2)^2$

$(d_2/2)^2 = 100 - 36$

$(d_2/2)^2 = 64$

$d_2/2 = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь найдем полную длину второй диагонали:

$d_2 = 8 \times 2 = 16$ см.

Ответ: вторая диагональ равна 16 см.

Нахождение площади

Площадь ромба вычисляется как половина произведения его диагоналей.

Формула площади ромба:

$S = (d_1 \times d_2) / 2$

Мы знаем обе диагонали:

• $d_1 = 12$ см
• $d_2 = 16$ см

Подставим эти значения в формулу:

$S = (12 \times 16) / 2$

$S = 192 / 2$

$S = 96$ см?.

Ответ: площадь ромба равна 96 см?.

593 Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями AB и CD, если: а) AB = 10 см, BC = DA = 13 см, CD = 20 см; б) ∠C = ∠D = 60°, AB = ВС = 8 см; в) ∠C = ∠D = 45°, AB = 6 см, BC = 92 см.

а)

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AB=10$ см и $CD=20$ см и боковыми сторонами $BC=DA=13$ см. Так как боковые стороны трапеции равны ($BC=DA$), трапеция является равнобедренной.

Для нахождения площади трапеции по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$ необходимо найти её высоту $h$. Проведем из вершин $A$ и $B$ высоты $AH$ и $BK$ к основанию $CD$.

Четырехугольник $ABKH$ является прямоугольником, так как $AB \parallel CD$ и $AH \perp CD, BK \perp CD$. Следовательно, $HK = AB = 10$ см. Треугольники $\triangle AHD$ и $\triangle BKC$ являются прямоугольными и равны по гипотенузе и катету ($AD=BC$, $AH=BK$), из чего следует, что $HD = CK$.

Найдем длину отрезков $HD$ и $CK$:

$HD = CK = \frac{CD - HK}{2} = \frac{20 - 10}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AHD$. По теореме Пифагора $AD^2 = AH^2 + HD^2$. Отсюда найдем высоту $h = AH$:

$h^2 = AD^2 - HD^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$

$h = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь вычислим площадь трапеции:

$S_{ABCD} = \frac{AB + CD}{2} \cdot h = \frac{10 + 20}{2} \cdot 12 = 15 \cdot 12 = 180$ см².

Ответ: 180 см².

б)

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$, в которой $\angle C = \angle D = 60^\circ$ и $AB = BC = 8$ см. Так как углы при основании $CD$ равны, трапеция является равнобедренной, а значит $AD = BC = 8$ см.

Проведем высоту $BK$ из вершины $B$ на основание $CD$. В образовавшемся прямоугольном треугольнике $\triangle BKC$ катет $BK$ является высотой трапеции $h$.

Найдем высоту $h$ и отрезок $CK$ из $\triangle BKC$, используя тригонометрические функции:

$h = BK = BC \cdot \sin(\angle C) = 8 \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

$CK = BC \cdot \cos(\angle C) = 8 \cdot \cos(60^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

Поскольку трапеция равнобедренная, отрезок, отсекаемый второй высотой $AH$, равен $CK$, то есть $HD=CK=4$ см. Отрезок $KH$ между высотами равен верхнему основанию $AB$, то есть $KH=AB=8$ см.

Теперь можем найти длину нижнего основания $CD$:

$CD = CK + KH + HD = 4 + 8 + 4 = 16$ см.

Вычислим площадь трапеции:

$S_{ABCD} = \frac{AB + CD}{2} \cdot h = \frac{8 + 16}{2} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{24}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 12 \cdot 4\sqrt{3} = 48\sqrt{3}$ см².

Ответ: $48\sqrt{3}$ см².

в)

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$, в которой $\angle C = \angle D = 45^\circ$, $AB = 6$ см и $BC = 9\sqrt{2}$ см. Так как углы при основании $CD$ равны, трапеция является равнобедренной, и $AD = BC = 9\sqrt{2}$ см.

Проведем высоту $BK$ из вершины $B$ на основание $CD$. В прямоугольном треугольнике $\triangle BKC$ катет $BK$ является высотой трапеции $h$.

Найдем высоту $h$ из $\triangle BKC$:

$h = BK = BC \cdot \sin(\angle C) = 9\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ) = 9\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{9 \cdot 2}{2} = 9$ см.

Поскольку $\triangle BKC$ — прямоугольный с острым углом $45^\circ$, второй острый угол $\angle KBC$ также равен $45^\circ$. Следовательно, треугольник является равнобедренным, и $CK = BK = 9$ см.

Так как трапеция $ABCD$ равнобедренная, то, проведя вторую высоту $AH$, получим $HD = CK = 9$ см. Отрезок $KH$ равен верхнему основанию: $KH = AB = 6$ см.

Найдем длину нижнего основания $CD$:

$CD = CK + KH + HD = 9 + 6 + 9 = 24$ см.

Вычислим площадь трапеции:

$S_{ABCD} = \frac{AB + CD}{2} \cdot h = \frac{6 + 24}{2} \cdot 9 = \frac{30}{2} \cdot 9 = 15 \cdot 9 = 135$ см².

Ответ: 135 см².

594 Основание D высоты CD треугольника ABC лежит на стороне AB, причём AD = BC. Найдите АС, если AB = 3, а CD = 3

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором $CD$ — высота, опущенная на сторону $AB$. Это означает, что угол $CDA$ и угол $CDB$ прямые ($90^\circ$), а треугольники $ADC$ и $BDC$ являются прямоугольными.

Из условия задачи нам известны следующие величины: $AB = 3$, $CD = \sqrt{3}$, а также соотношение $AD = BC$.

Поскольку основание высоты $D$ лежит на стороне $AB$, то длина стороны $AB$ равна сумме длин отрезков $AD$ и $DB$: $AB = AD + DB$.

Введем неизвестную. Пусть $AD = x$. Тогда, согласно условию $AD = BC$, мы получаем, что $BC = x$.

Используя равенство $AB = AD + DB$, выразим длину отрезка $DB$ через $x$: $DB = AB - AD = 3 - x$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BDC$. Применим к нему теорему Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы ($BC$) равен сумме квадратов катетов ($CD$ и $DB$):
$BC^2 = CD^2 + DB^2$

Подставим в это уравнение известные и выраженные через $x$ значения:
$x^2 = (\sqrt{3})^2 + (3 - x)^2$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$. Раскроем скобки и упростим выражение:
$x^2 = 3 + (3^2 - 2 \cdot 3 \cdot x + x^2)$
$x^2 = 3 + 9 - 6x + x^2$
$x^2 = 12 - 6x + x^2$

Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:
$0 = 12 - 6x$
Перенесем $6x$ в левую часть:
$6x = 12$
$x = \frac{12}{6} = 2$

Таким образом, мы нашли, что $AD = x = 2$.

Теперь, зная $AD$ и $CD$, мы можем найти искомую сторону $AC$. Рассмотрим для этого прямоугольный треугольник $ADC$. Снова применим теорему Пифагора:
$AC^2 = AD^2 + CD^2$

Подставим известные значения $AD = 2$ и $CD = \sqrt{3}$:
$AC^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2$
$AC^2 = 4 + 3$
$AC^2 = 7$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, находим длину стороны $AC$:
$AC = \sqrt{7}$

Ответ: $\sqrt{7}$

595 Одна из диагоналей параллелограмма является его высотой. Найдите эту диагональ, если периметр параллелограмма равен 50 см, а разность смежных сторон равна 1 см.

Пусть смежные стороны параллелограмма равны $a$ и $b$. Согласно условию, периметр параллелограмма равен 50 см, а разность смежных сторон равна 1 см.

Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. Подставим известные значения:
$2(a + b) = 50$
$a + b = 25$

Разность смежных сторон равна 1 см. Предположим, что $a$ — большая сторона, тогда:
$a - b = 1$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} a + b = 25 \\ a - b = 1 \end{cases}$

Сложим два уравнения, чтобы найти сторону $a$:
$(a + b) + (a - b) = 25 + 1$
$2a = 26$
$a = 13$ см

Теперь подставим значение $a$ в первое уравнение, чтобы найти сторону $b$:
$13 + b = 25$
$b = 25 - 13$
$b = 12$ см

Таким образом, длины смежных сторон параллелограмма равны 13 см и 12 см.

По условию, одна из диагоналей параллелограмма является его высотой. Обозначим эту диагональ как $d$. Это означает, что диагональ перпендикулярна одной из сторон, образуя прямоугольный треугольник. Сторонами этого треугольника являются диагональ $d$ и две смежные стороны параллелограмма $a$ и $b$.

В прямоугольном треугольнике наибольшая сторона является гипотенузой. В нашем случае, так как $a=13$ см и $b=12$ см, гипотенузой будет сторона $a$. Диагональ $d$ и сторона $b$ будут катетами этого треугольника.

Применим теорему Пифагора $d^2 + b^2 = a^2$:
$d^2 + 12^2 = 13^2$
$d^2 + 144 = 169$
$d^2 = 169 - 144$
$d^2 = 25$
$d = \sqrt{25} = 5$ см

Ответ: 5 см.

596 Выясните, является ли треугольник прямоугольным, если его стороны выражаются числами: а) 6, 8, 10; б) 5, 6, 7; в) 9, 12, 15; г) 10, 24, 26; д) 3, 4, 6; е) 11, 9, 13; ж) 15, 20, 25. В каждом случае ответ обоснуйте.

Для определения, является ли треугольник прямоугольным, используется теорема, обратная теореме Пифагора. Она гласит: если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник — прямоугольный. Самая длинная сторона будет являться гипотенузой, а две другие — катетами. Проверим это условие для каждого случая.

а) Стороны треугольника: 6, 8, 10.
Наибольшая сторона — 10. Проверим, выполняется ли равенство $a^2 + b^2 = c^2$, где $c=10$, а $a=6$ и $b=8$.
$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.
$10^2 = 100$.
Поскольку $100 = 100$, равенство выполняется. Следовательно, треугольник является прямоугольным.
Ответ: да, является.

б) Стороны треугольника: 5, 6, 7.
Наибольшая сторона — 7. Проверим, выполняется ли равенство $5^2 + 6^2 = 7^2$.
$5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61$.
$7^2 = 49$.
Поскольку $61 \neq 49$, равенство не выполняется. Следовательно, треугольник не является прямоугольным.
Ответ: нет, не является.

в) Стороны треугольника: 9, 12, 15.
Наибольшая сторона — 15. Проверим, выполняется ли равенство $9^2 + 12^2 = 15^2$.
$9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$.
$15^2 = 225$.
Поскольку $225 = 225$, равенство выполняется. Следовательно, треугольник является прямоугольным.
Ответ: да, является.

г) Стороны треугольника: 10, 24, 26.
Наибольшая сторона — 26. Проверим, выполняется ли равенство $10^2 + 24^2 = 26^2$.
$10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$.
$26^2 = 676$.
Поскольку $676 = 676$, равенство выполняется. Следовательно, треугольник является прямоугольным.
Ответ: да, является.

д) Стороны треугольника: 3, 4, 6.
Наибольшая сторона — 6. Проверим, выполняется ли равенство $3^2 + 4^2 = 6^2$.
$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
$6^2 = 36$.
Поскольку $25 \neq 36$, равенство не выполняется. Следовательно, треугольник не является прямоугольным.
Ответ: нет, не является.

е) Стороны треугольника: 11, 9, 13.
Наибольшая сторона — 13. Проверим, выполняется ли равенство $9^2 + 11^2 = 13^2$.
$9^2 + 11^2 = 81 + 121 = 202$.
$13^2 = 169$.
Поскольку $202 \neq 169$, равенство не выполняется. Следовательно, треугольник не является прямоугольным.
Ответ: нет, не является.

ж) Стороны треугольника: 15, 20, 25.
Наибольшая сторона — 25. Проверим, выполняется ли равенство $15^2 + 20^2 = 25^2$.
$15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$.
$25^2 = 625$.
Поскольку $625 = 625$, равенство выполняется. Следовательно, треугольник является прямоугольным.
Ответ: да, является.

597 Найдите меньшую высоту треугольника со сторонами, равными: а) 24 см, 25 см, 7 см; б) 15 см, 17 см, 8 см.

а)

Даны стороны треугольника: 24 см, 25 см, 7 см.
Меньшая высота в треугольнике всегда проведена к его наибольшей стороне. Наибольшая сторона в данном треугольнике равна 25 см. Обозначим стороны как $a = 7$ см, $b = 24$ см и $c = 25$ см.
Для нахождения высоты сначала необходимо вычислить площадь треугольника ($S$). Проверим, является ли данный треугольник прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора.
Сумма квадратов меньших сторон: $a^2 + b^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$.
Квадрат большей стороны: $c^2 = 25^2 = 625$.
Поскольку $a^2 + b^2 = c^2$, треугольник является прямоугольным, где катеты равны 7 см и 24 см, а гипотенуза — 25 см.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 24 = 84$ см$^2$.
Площадь треугольника также можно выразить через высоту ($h_c$), проведенную к стороне $c$ (гипотенузе):
$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c$.
Меньшая высота ($h_{min}$) — это высота, проведенная к наибольшей стороне $c = 25$ см.
$84 = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot h_{min}$
$h_{min} = \frac{2 \cdot 84}{25} = \frac{168}{25} = 6,72$ см.
Ответ: 6,72 см.

б)

Даны стороны треугольника: 15 см, 17 см, 8 см.
Меньшая высота проведена к наибольшей стороне, которая равна 17 см. Обозначим стороны как $a = 8$ см, $b = 15$ см и $c = 17$ см.
Проверим, является ли треугольник прямоугольным:
Сумма квадратов меньших сторон: $a^2 + b^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$.
Квадрат большей стороны: $c^2 = 17^2 = 289$.
Поскольку $a^2 + b^2 = c^2$, треугольник является прямоугольным с катетами 8 см и 15 см и гипотенузой 17 см.
Вычислим площадь ($S$) этого треугольника:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 = 60$ см$^2$.
Меньшая высота ($h_{min}$) проведена к наибольшей стороне $c = 17$ см. Найдем ее из формулы площади:
$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_{min}$
$60 = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot h_{min}$
$h_{min} = \frac{2 \cdot 60}{17} = \frac{120}{17}$ см.
Ответ: $\frac{120}{17}$ см.

598 В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а боковая сторона равна 13 см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Для нахождения радиуса $r$ окружности, вписанной в треугольник, воспользуемся формулой $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Дан равнобедренный треугольник с основанием $a = 10$ см и боковыми сторонами $b = 13$ см.

Сначала вычислим периметр $P$ и полупериметр $p$ треугольника:
$P = a + b + b = 10 + 13 + 13 = 36$ см.
$p = \frac{P}{2} = \frac{36}{2} = 18$ см.

Далее найдем площадь треугольника $S$. Для этого проведем высоту $h$ к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой, поэтому она делит основание на два равных отрезка длиной $\frac{a}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, боковой стороной $b$ и половиной основания $\frac{a}{2}$. По теореме Пифагора найдем высоту $h$:
$h^2 = b^2 - (\frac{a}{2})^2$
$h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь можем вычислить площадь треугольника:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ см$^2$.

Наконец, подставим найденные значения площади и полупериметра в формулу для радиуса вписанной окружности:
$r = \frac{S}{p} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3}$ см.

Ответ: $\frac{10}{3}$ см.

599 В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса r. Найдите периметр треугольника, если: а) гипотенуза равна 26 см, r = 4 см; б) точка касания делит гипотенузу на отрезки, равные 5 см и 12 см.

Для решения задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника с вписанной в него окружностью. Пусть катеты треугольника равны $a$ и $b$, гипотенуза равна $c$, а радиус вписанной окружности равен $r$.

Периметр треугольника $P$ вычисляется по формуле $P = a+b+c$.

Для прямоугольного треугольника существует полезная формула, связывающая радиус вписанной окружности с его сторонами: $r = \frac{a+b-c}{2}$. Из этой формулы можно выразить сумму катетов: $a+b = 2r+c$.

Подставив это выражение в формулу периметра, получим универсальную формулу для решения обоих пунктов задачи:

$P = (a+b)+c = (2r+c)+c = 2c+2r$.

а)

По условию дано: гипотенуза $c = 26$ см, радиус вписанной окружности $r = 4$ см.

Используем выведенную формулу для нахождения периметра:

$P = 2c+2r = 2 \cdot 26 + 2 \cdot 4 = 52 + 8 = 60$ см.

Ответ: 60 см.

б)

По условию, точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки, равные 5 см и 12 см. Длина гипотенузы $c$ равна сумме длин этих отрезков:

$c = 5 + 12 = 17$ см.

По свойству касательных, проведенных из одной вершины к окружности, отрезки от вершин острых углов до точек касания на катетах равны отрезкам от тех же вершин до точки касания на гипотенузе. Отрезки от вершины прямого угла до точек касания на катетах равны радиусу вписанной окружности $r$.

Таким образом, катеты треугольника можно выразить через $r$ и длины отрезков на гипотенузе:

$a = 12 + r$

$b = 5 + r$

Применим теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:

$(12+r)^2 + (5+r)^2 = 17^2$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $r$:

$144 + 24r + r^2 + 25 + 10r + r^2 = 289$

$2r^2 + 34r + 169 = 289$

$2r^2 + 34r - 120 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$r^2 + 17r - 60 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $r_1 = 3$ и $r_2 = -20$. Поскольку радиус является геометрической величиной, он не может быть отрицательным. Следовательно, $r = 3$ см.

Теперь, зная гипотенузу $c=17$ см и радиус $r=3$ см, можем найти периметр по той же формуле, что и в пункте а):

$P = 2c+2r = 2 \cdot 17 + 2 \cdot 3 = 34 + 6 = 40$ см.

Ответ: 40 см.