Страница 160 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

617* Основания трапеции равны a и b. Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции, параллельный основаниям, разделяет трапецию на две равновеликие трапеции. Найдите длину этого отрезка.

Пусть дана трапеция, основания которой равны $a$ и $b$. Пусть $x$ — длина искомого отрезка, который параллелен основаниям и делит трапецию на две равновеликие (имеющие равные площади) трапеции.

Для решения задачи удобно продлить боковые стороны трапеции до их пересечения в некоторой точке $P$. При этом образуются три подобных друг другу треугольника: малый, с основанием $a$; средний, с основанием $x$; и большой, с основанием $b$. Обозначим их площади как $S_a$, $S_x$ и $S_b$ соответственно.

Площадь верхней из двух малых трапеций, образованных отрезком $x$, равна разности площадей среднего и малого треугольников:

$S_1 = S_x - S_a$

Площадь нижней трапеции равна разности площадей большого и среднего треугольников:

$S_2 = S_b - S_x$

По условию задачи, эти две трапеции равновеликие, то есть их площади равны: $S_1 = S_2$.

$S_x - S_a = S_b - S_x$

Из этого равенства следует:

$2S_x = S_a + S_b$

Известно, что площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров. В нашем случае площади образованных треугольников относятся как квадраты их оснований. Это значит, что существует такой коэффициент пропорциональности $k$, что:

$S_a = k \cdot a^2$

$S_x = k \cdot x^2$

$S_b = k \cdot b^2$

Подставим эти выражения в соотношение $2S_x = S_a + S_b$:

$2(k \cdot x^2) = (k \cdot a^2) + (k \cdot b^2)$

Разделим обе части уравнения на $k$ (так как $k \neq 0$):

$2x^2 = a^2 + b^2$

Отсюда находим $x^2$:

$x^2 = \frac{a^2 + b^2}{2}$

Так как длина отрезка $x$ должна быть положительной, извлекаем квадратный корень из правой части:

$x = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$

Таким образом, длина отрезка, делящего трапецию на две равновеликие трапеции, является средним квадратичным длин оснований исходной трапеции.

Ответ: $\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$

618 Диагонали ромба равны 18 м и 24 м. Найдите периметр ромба и расстояние между параллельными сторонами.

Найдите периметр ромба

Пусть диагонали ромба равны $d_1 = 18$ м и $d_2 = 24$ м. Диагонали ромба перпендикулярны друг другу и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, они делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.

Катеты каждого такого треугольника равны половинам диагоналей:
$\frac{d_1}{2} = \frac{18}{2} = 9$ м
$\frac{d_2}{2} = \frac{24}{2} = 12$ м

Сторона ромба $a$ является гипотенузой в этих прямоугольных треугольниках. Найдем ее длину по теореме Пифагора:
$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$
$a^2 = 9^2 + 12^2$
$a^2 = 81 + 144$
$a^2 = 225$
$a = \sqrt{225} = 15$ м.

Все стороны ромба равны. Периметр ромба $P$ вычисляется по формуле:
$P = 4a$
$P = 4 \times 15 = 60$ м.

Ответ: периметр ромба равен 60 м.

Найдите расстояние между параллельными сторонами

Расстояние между параллельными сторонами ромба — это его высота $h$. Площадь ромба $S$ можно найти двумя способами: через диагонали и через сторону и высоту.

1. Формула площади через диагонали:
$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$
$S = \frac{1}{2} \times 18 \times 24 = 9 \times 24 = 216$ м$^2$.

2. Формула площади через сторону и высоту:
$S = a \times h$

Приравняем значение площади, чтобы найти высоту $h$:
$a \times h = 216$
Мы уже знаем, что сторона $a = 15$ м.
$15 \times h = 216$
$h = \frac{216}{15}$
$h = \frac{72}{5} = 14,4$ м.

Ответ: расстояние между параллельными сторонами равно 14,4 м.

619 Площадь ромба равна 540 см², а одна из его диагоналей равна 4,5 дм. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба.

Для решения задачи разобьем процесс на несколько шагов.

1. Приведение единиц измерения к единой системе

Площадь ромба дана в квадратных сантиметрах ($см^2$), а одна из диагоналей - в дециметрах (дм). Для удобства вычислений приведем все размеры к сантиметрам. Дано: площадь $S = 540 \text{ см}^2$, диагональ $d_1 = 4.5 \text{ дм}$.

Поскольку $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$, то $d_1 = 4.5 \cdot 10 = 45 \text{ см}$.

2. Нахождение второй диагонали ромба

Площадь ромба вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}d_1d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — его диагонали. Подставим известные значения, чтобы найти $d_2$:

$540 = \frac{1}{2} \cdot 45 \cdot d_2$

$1080 = 45 \cdot d_2$

$d_2 = \frac{1080}{45} = 24 \text{ см}$.

3. Нахождение стороны ромба

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Они разделяют ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Катеты этих треугольников равны половинам диагоналей ($\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$), а гипотенуза является стороной ромба ($a$).

Найдем длины катетов: $\frac{d_1}{2} = \frac{45}{2} = 22.5 \text{ см}$ и $\frac{d_2}{2} = \frac{24}{2} = 12 \text{ см}$.

По теореме Пифагора найдем сторону ромба $a$:

$a^2 = (22.5)^2 + 12^2 = 506.25 + 144 = 650.25$

$a = \sqrt{650.25} = 25.5 \text{ см}$.

4. Нахождение искомого расстояния

Расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба — это высота ($h$), опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу в одном из четырех прямоугольных треугольников, на которые диагонали делят ромб. Высота всего ромба ($H$) равна удвоенному искомому расстоянию ($H = 2h$).

Площадь ромба также можно найти по формуле $S = a \cdot H$, где $a$ — сторона ромба, а $H$ — его высота. Подставим в эту формулу $H = 2h$:

$S = a \cdot (2h)$

Подставим известные значения площади и стороны ромба:

$540 = 25.5 \cdot 2h$

$540 = 51h$

Отсюда находим $h$:

$h = \frac{540}{51}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:

$h = \frac{180}{17} \text{ см}$.

Ответ: $\frac{180}{17}$ см.

620 Найдите площадь равнобедренного треугольника, если: а) боковая сторона равна 20 см, а угол при основании равен 30°; б) высота, проведённая к боковой стороне, равна 6 см и образует с основанием угол в 45°.

а)

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По условию, боковые стороны равны $AB = BC = 20$ см, а углы при основании равны $\angle BAC = \angle BCA = 30°$.

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$, где $a$ и $b$ – две стороны треугольника, а $\gamma$ – угол между ними.

Сначала найдем угол при вершине $B$. Сумма углов в треугольнике равна $180°$, поэтому:
$\angle ABC = 180° - (\angle BAC + \angle BCA) = 180° - (30° + 30°) = 180° - 60° = 120°$.

Теперь вычислим площадь, используя боковые стороны $AB$, $BC$ и угол $\angle ABC$ между ними:
$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC) = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 20 \cdot \sin(120°)$.

Значение синуса $120°$ можно найти через формулу приведения: $\sin(120°) = \sin(180° - 60°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставляем это значение в формулу площади:
$S = \frac{1}{2} \cdot 400 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 200 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 100\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $100\sqrt{3}$ см$^2$.

б)

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$, так что $AB=BC$. Пусть $AH$ – высота, проведенная к боковой стороне $BC$. По условию, $AH = 6$ см. Угол между этой высотой и основанием $AC$ равен $\angle HAC = 45°$.

Поскольку $AH$ – высота к стороне $BC$, то $AH \perp BC$, и следовательно, треугольник $AHC$ является прямоугольным с прямым углом $\angle AHC = 90°$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$. Сумма его острых углов равна $90°$. Отсюда находим угол $\angle HCA$:
$\angle HCA = 90° - \angle HAC = 90° - 45° = 45°$.

Угол $\angle HCA$ является углом при основании равнобедренного треугольника $ABC$. Таким образом, $\angle BCA = 45°$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, то второй угол при основании, $\angle BAC$, также равен $45°$.

Найдем угол при вершине $B$:
$\angle ABC = 180° - (\angle BAC + \angle BCA) = 180° - (45° + 45°) = 90°$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$, где $a$ – сторона, а $h_a$ – высота, проведенная к ней. В нашем случае $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH$. Нам известна высота $AH=6$ см, необходимо найти длину стороны $BC$.

Длину $BC$ можно найти, используя тригонометрические соотношения. Сначала найдем длину основания $AC$ из прямоугольного треугольника $AHC$:
$\sin(\angle HCA) = \frac{AH}{AC} \implies AC = \frac{AH}{\sin(\angle HCA)} = \frac{6}{\sin(45°)} = \frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$, который, как мы выяснили, является прямоугольным ($\angle B = 90°$). В нем $AC$ является гипотенузой, а $BC$ - катетом. Связь между ними:
$\cos(\angle BCA) = \frac{BC}{AC} \implies BC = AC \cdot \cos(\angle BCA) = 6\sqrt{2} \cdot \cos(45°) = 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6 \cdot \frac{2}{2} = 6$ см.

Наконец, вычисляем площадь треугольника $ABC$:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18$ см$^2$.

Ответ: $18$ см$^2$.

621 В треугольнике АBС ВС = 34 см. Перпендикуляр MN, проведённый из середины ВС к прямой АС, делит сторону АС на отрезки AN = 25 см и NC = 15 см. Найдите площадь треугольника ABC.

По условию задачи, дан треугольник $ABC$. Пусть $M$ – середина стороны $BC$. Перпендикуляр $MN$, проведенный из точки $M$ к прямой $AC$, пересекает сторону $AC$ в точке $N$.

Известны следующие длины: $BC = 34 \text{ см}$, $AN = 25 \text{ см}$ и $NC = 15 \text{ см}$.

1. Найдем длину стороны $AC$. Точка $N$ лежит на стороне $AC$, поэтому длина $AC$ равна сумме длин отрезков $AN$ и $NC$:
$AC = AN + NC = 25 + 15 = 40 \text{ см}$.

2. Точка $M$ является серединой стороны $BC$. Найдем длину отрезка $MC$:
$MC = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 34 = 17 \text{ см}$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $MNC$. Угол $\angle MNC = 90^\circ$, так как по условию $MN \perp AC$. По теореме Пифагора $MC^2 = MN^2 + NC^2$. Выразим и найдем длину катета $MN$:
$MN^2 = MC^2 - NC^2$
$MN^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64$
$MN = \sqrt{64} = 8 \text{ см}$.

4. Площадь треугольника $ABC$ можно найти по формуле $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$, где $BH$ – высота, проведенная из вершины $B$ к стороне $AC$.

5. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к стороне $AC$. Так как $BH \perp AC$ и $MN \perp AC$, то прямые $BH$ и $MN$ параллельны ($BH \parallel MN$).

6. Рассмотрим треугольники $BHC$ и $MNC$.
- $\angle C$ – общий угол.
- $\angle BHC = \angle MNC = 90^\circ$ (так как $BH$ и $MN$ – перпендикуляры к $AC$).
Следовательно, треугольник $BHC$ подобен треугольнику $MNC$ ($\triangle BHC \sim \triangle MNC$) по двум углам.

7. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{BH}{MN} = \frac{BC}{MC} = \frac{HC}{NC}$
Коэффициент подобия $k = \frac{BC}{MC} = \frac{34}{17} = 2$.

8. Используя коэффициент подобия, найдем высоту $BH$:
$\frac{BH}{MN} = 2 \implies BH = 2 \cdot MN = 2 \cdot 8 = 16 \text{ см}$.

9. Теперь можем вычислить площадь треугольника $ABC$:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 16 = 20 \cdot 16 = 320 \text{ см}^2$.

Ответ: $320 \text{ см}^2$.

622 Найдите площадь четырёхугольника ABCD, в котором AB = 5 см, ВС = 13 см, CD = 9 см, DA = 15 см, АС = 12 см.

Площадь четырехугольника ABCD можно вычислить как сумму площадей двух треугольников ABC и ADC, на которые его разделяет диагональ AC.$S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ADC}$

1. Нахождение площади треугольника ABC.

Стороны треугольника ABC равны: $AB = 5$ см, $BC = 13$ см, $AC = 12$ см.

Проверим, выполняется ли для этого треугольника теорема Пифагора. Сравним квадрат большей стороны $BC$ с суммой квадратов двух других сторон $AB$ и $AC$.

$AB^2 + AC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$

$BC^2 = 13^2 = 169$

Поскольку $AB^2 + AC^2 = BC^2$, треугольник ABC является прямоугольным, с прямым углом при вершине A. Его площадь равна половине произведения катетов.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$ см?.

2. Нахождение площади треугольника ADC.

Стороны треугольника ADC равны: $CD = 9$ см, $DA = 15$ см, $AC = 12$ см.

Аналогично проверим для этого треугольника теорему Пифагора. Сравним квадрат большей стороны $DA$ с суммой квадратов двух других сторон $CD$ и $AC$.

$CD^2 + AC^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$

$DA^2 = 15^2 = 225$

Поскольку $CD^2 + AC^2 = DA^2$, треугольник ADC является прямоугольным, с прямым углом при вершине C. Его площадь равна половине произведения катетов.

$S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54$ см?.

3. Нахождение площади четырехугольника ABCD.

Теперь сложим площади двух треугольников, чтобы найти площадь четырехугольника.

$S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ADC} = 30 + 54 = 84$ см?.

Ответ: 84 см?.

623 Найдите площадь равнобедренной трапеции, если: а) её меньшее основание равно 18 см, высота — 9 см и острый угол равен 45°; б) её основания равны 16 см и 30 см, а диагонали взаимно перпендикулярны.

а)

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания трапеции, а $h$ — ее высота.

По условию, мы имеем равнобедренную трапецию, у которой меньшее основание $b = 18$ см, высота $h = 9$ см и острый угол при основании равен $45^\circ$. Нам необходимо найти длину большего основания $a$.

Проведем из вершин меньшего основания высоты к большему основанию. Эти высоты отсекают от трапеции два равных прямоугольных треугольника по бокам. Рассмотрим один из таких треугольников. Его катетами являются высота трапеции $h$ и отрезок $x$, который является частью большего основания. Гипотенузой является боковая сторона трапеции.

Один из острых углов этого треугольника равен острому углу трапеции, то есть $45^\circ$. Так как треугольник прямоугольный, то второй острый угол также равен $180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Следовательно, этот треугольник является равнобедренным, и его катеты равны.

Таким образом, отрезок $x$ равен высоте $h$:
$x = h = 9$ см.

Большее основание $a$ состоит из меньшего основания $b$ и двух таких отрезков $x$ (по одному с каждой стороны):
$a = b + 2x = 18 + 2 \cdot 9 = 18 + 18 = 36$ см.

Теперь, когда известны оба основания и высота, мы можем вычислить площадь трапеции:
$S = \frac{36 + 18}{2} \cdot 9 = \frac{54}{2} \cdot 9 = 27 \cdot 9 = 243$ см².

Ответ: 243 см².

б)

По условию, мы имеем равнобедренную трапецию, основания которой равны $a = 30$ см и $b = 16$ см, а диагонали взаимно перпендикулярны.

Для равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями существует свойство: ее высота равна полусумме оснований (средней линии).

Докажем это. Пусть диагонали пересекаются в точке O. Они делят трапецию на четыре треугольника. Так как трапеция равнобедренная, треугольники, прилежащие к основаниям ($\triangle BOC$ и $\triangle AOD$), являются равнобедренными. Поскольку диагонали перпендикулярны, эти треугольники являются еще и прямоугольными. Высота трапеции, проходящая через точку O, складывается из высот этих двух треугольников ($h_1$ и $h_2$), проведенных из вершины O к основаниям. В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Таким образом, высота треугольника, прилежащего к меньшему основанию, $h_1 = \frac{b}{2}$, а высота треугольника, прилежащего к большему основанию, $h_2 = \frac{a}{2}$.

Полная высота трапеции $h$ равна сумме этих высот:
$h = h_1 + h_2 = \frac{b}{2} + \frac{a}{2} = \frac{a+b}{2}$.

Вычислим высоту нашей трапеции:
$h = \frac{30 + 16}{2} = \frac{46}{2} = 23$ см.

Теперь вычислим площадь трапеции по стандартной формуле:
$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$.
Заметим, что в данном случае $\frac{a+b}{2} = h$, поэтому площадь равна квадрату высоты: $S=h^2$.
$S = 23 \cdot 23 = 529$ см².

Ответ: 529 см².

624 Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой высота равна h, а диагонали взаимно перпендикулярны.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Обозначим длины оснований $a = AD$ и $b = BC$. По условию, высота трапеции равна $h$, а диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$Для решения задачи необходимо найти связь между суммой оснований $(a+b)$ и высотой $h$.

Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.Поскольку трапеция $ABCD$ является равнобедренной, ее диагонали равны ($AC = BD$), а треугольники, образованные пересечением диагоналей и основаниями, являются равнобедренными. Таким образом, $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ — равнобедренные треугольники ($OA = OD$, $OB = OC$).

По условию задачи диагонали взаимно перпендикулярны, то есть $\angle AOD = \angle BOC = 90^\circ$. Следовательно, треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ являются равнобедренными прямоугольными треугольниками.

Проведем через точку $O$ высоту трапеции $MN$, где точка $M$ лежит на основании $BC$, а точка $N$ — на основании $AD$. Длина этой высоты равна $h$, то есть $MN = h$.Отрезок $OM$ является высотой в равнобедренном прямоугольном треугольнике $\triangle BOC$, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе $BC$. В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.Следовательно, $OM = \frac{BC}{2} = \frac{b}{2}$.

Аналогично, отрезок $ON$ является высотой в равнобедренном прямоугольном треугольнике $\triangle AOD$, проведенной к гипотенузе $AD$.Следовательно, $ON = \frac{AD}{2} = \frac{a}{2}$.

Теперь выразим полную высоту трапеции $h$ через ее части:$h = MN = OM + ON = \frac{b}{2} + \frac{a}{2} = \frac{a+b}{2}$.

Мы получили важное свойство для такой трапеции: ее высота равна ее средней линии.Теперь подставим найденное выражение для средней линии $\frac{a+b}{2}$ в формулу площади трапеции:$S = \left(\frac{a+b}{2}\right) \cdot h = h \cdot h = h^2$.

Ответ: $h^2$.

625 Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, а сумма оснований равна 2а. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По условию задачи, трапеция является равнобедренной, ее диагонали взаимно перпендикулярны ($AC \perp BD$), а сумма оснований равна $2a$ ($AD + BC = 2a$).

Площадь трапеции вычисляется по формуле:$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$, где $h$ – высота трапеции.Подставив в формулу известную из условия сумму оснований, получаем:$S = \frac{2a}{2} \cdot h = a \cdot h$.Для нахождения площади необходимо найти высоту трапеции $h$.

Проведем высоту трапеции $h$ через точку пересечения диагоналей $O$. Эта высота будет состоять из двух отрезков: высоты $h_1$ треугольника $\triangle BOC$ и высоты $h_2$ треугольника $\triangle AOD$, проведенных из вершины $O$. Таким образом, $h = h_1 + h_2$.

В равнобедренной трапеции треугольники, образованные диагоналями и основаниями, являются равнобедренными. Так как $\angle CAD = \angle BDA$ (как углы при основании $AD$ в равнобедренной трапеции), то треугольник $\triangle AOD$ — равнобедренный ($AO=DO$). Аналогично, треугольник $\triangle BOC$ — равнобедренный ($BO=CO$).

Поскольку по условию диагонали перпендикулярны ($\angle AOD = \angle BOC = 90^\circ$), то треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ являются прямоугольными равнобедренными треугольниками.

В прямоугольном равнобедренном треугольнике $\triangle BOC$ высота $h_1$, проведенная из вершины прямого угла $O$ к гипотенузе $BC$, является также и медианой. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. Следовательно, $h_1 = \frac{1}{2} BC$.

Аналогично, в прямоугольном равнобедренном треугольнике $\triangle AOD$ высота $h_2$, проведенная к гипотенузе $AD$, равна ее половине: $h_2 = \frac{1}{2} AD$.

Теперь мы можем найти полную высоту трапеции $h$:$h = h_1 + h_2 = \frac{1}{2} BC + \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} (BC + AD)$.

Используя условие $BC + AD = 2a$, находим высоту:$h = \frac{1}{2} (2a) = a$.

Наконец, вычисляем площадь трапеции, подставляя найденное значение высоты $h=a$ в ранее полученную формулу $S = a \cdot h$:$S = a \cdot a = a^2$.

Ответ: $a^2$.

626 Докажите, что если диагонали четырёхугольника ABCD взаимно перпендикулярны, то AD² + BC² = AB² + CD².

Пусть дан четырёхугольник $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны. Обозначим точку их пересечения буквой $O$.

Поскольку диагонали перпендикулярны ($AC \perp BD$), они делят четырёхугольник на четыре прямоугольных треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$, так как все углы при вершине $O$ являются прямыми ($90^\circ$).

Применим теорему Пифагора для каждого из этих треугольников. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
В $\triangle AOB$ (гипотенуза $AB$): $AB^2 = AO^2 + BO^2$
В $\triangle BOC$ (гипотенуза $BC$): $BC^2 = BO^2 + CO^2$
В $\triangle COD$ (гипотенуза $CD$): $CD^2 = CO^2 + DO^2$
В $\triangle DOA$ (гипотенуза $AD$): $AD^2 = AO^2 + DO^2$

Нам необходимо доказать, что $AD^2 + BC^2 = AB^2 + CD^2$.

Рассмотрим левую часть доказываемого равенства и подставим в неё выражения для $AD^2$ и $BC^2$, полученные из теоремы Пифагора:
$AD^2 + BC^2 = (AO^2 + DO^2) + (BO^2 + CO^2)$

Теперь рассмотрим правую часть равенства и подставим в неё выражения для $AB^2$ и $CD^2$:
$AB^2 + CD^2 = (AO^2 + BO^2) + (CO^2 + DO^2)$

Раскрыв скобки в обоих выражениях, мы видим, что они равны одной и той же сумме квадратов отрезков диагоналей:
$AO^2 + BO^2 + CO^2 + DO^2$

Так как левая и правая части доказываемого равенства равны одному и тому же выражению, то они равны между собой. Таким образом, мы доказали, что $AD^2 + BC^2 = AB^2 + CD^2$.

Ответ: Утверждение доказано.

627 В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями АD = 17 см, ВС = 5 см и боковой стороной AB = 10 см через вершину В проведена прямая, делящая диагональ АС пополам и пересекающая основание AD в точке М. Найдите площадь треугольника BDM.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD = 17$ см, $BC = 5$ см и боковой стороной $AB = 10$ см. Через вершину $B$ проведена прямая, которая делит диагональ $AC$ в точке $O$ пополам ($AO = OC$) и пересекает основание $AD$ в точке $M$.

Нахождение положения точки M

Рассмотрим треугольники $\triangle AOM$ и $\triangle COB$. Поскольку $AD \parallel BC$ (основания трапеции), то $\angle OAM = \angle OCB$ как накрест лежащие углы при секущей $AC$. Углы $\angle AOM$ и $\angle COB$ равны как вертикальные. Стороны $AO$ и $CO$ равны по условию ($AO = OC$). Следовательно, $\triangle AOM = \triangle COB$ по стороне и двум прилежащим углам (признак ASA).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $AM = BC$. Так как $BC = 5$ см, то и $AM = 5$ см.

Теперь найдем длину отрезка $MD$, который будет являться основанием искомого треугольника $BDM$. $MD = AD - AM = 17 - 5 = 12$ см.

Нахождение высоты трапеции

Для вычисления площади треугольника $BDM$ необходима его высота, проведенная из вершины $B$ на основание $MD$. Эта высота совпадает с высотой трапеции $ABCD$. Обозначим ее $h$.

Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ на большее основание $AD$. В равнобедренной трапеции длина отрезка $AH$, отсекаемого высотой от большего основания, вычисляется по формуле: $AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{17 - 5}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора найдем высоту $h = BH$: $h = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см.

Вычисление площади треугольника BDM

Площадь треугольника $BDM$ равна половине произведения его основания $MD$ на высоту $h$: $S_{BDM} = \frac{1}{2} \cdot MD \cdot h$.

Подставим найденные значения $MD = 12$ см и $h = 8$ см: $S_{BDM} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$ см$^2$.

Ответ: $48$ см$^2$.

628 Два квадрата со стороной а имеют одну общую вершину, причём сторона одного из них лежит на диагонали другого. Найдите площадь общей части этих квадратов.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть первый квадрат, назовем его $S_1$, расположен так, что одна из его вершин находится в начале координат $A(0,0)$, а две его стороны лежат на осях координат. Тогда вершины квадрата $S_1$ будут $A(0,0)$, $B(a,0)$, $C(a,a)$ и $D(0,a)$. Этот квадрат занимает область $0 \le x \le a$, $0 \le y \le a$.

Диагональ этого квадрата, исходящая из общей вершины $A$, — это отрезок $AC$, который лежит на прямой $y=x$.

Второй квадрат, назовем его $S_2$, также имеет сторону длиной $a$ и общую вершину $A(0,0)$. По условию, одна из его сторон лежит на диагонали квадрата $S_1$. Пусть эта сторона — $AP$, где $P$ — другая вершина квадрата $S_2$. Точка $P$ лежит на прямой $y=x$, а длина отрезка $AP$ равна $a$. Найдем координаты точки $P(x_P, y_P)$.

Так как $P$ лежит на $y=x$, то $x_P = y_P$. Расстояние от $A(0,0)$ до $P$ равно $a$:
$\sqrt{x_P^2 + y_P^2} = a \implies \sqrt{x_P^2 + x_P^2} = a \implies \sqrt{2x_P^2} = a \implies x_P\sqrt{2} = a$.
Отсюда $x_P = \frac{a}{\sqrt{2}}$. Таким образом, координаты вершины $P$ равны $(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{a}{\sqrt{2}})$.

Общая часть двух квадратов — это многоугольник, расположенный в первом квадранте. Найдем вершины этого многоугольника, чтобы вычислить его площадь. Область пересечения ограничена сторонами квадрата $S_1$ (осями координат и прямыми $x=a$, $y=a$) и сторонами квадрата $S_2$.

Рассмотрим стороны квадрата $S_2$, исходящие из вершины $A$. Одна сторона — $AP$ на прямой $y=x$. Вторая сторона $AR$ должна быть перпендикулярна $AP$, то есть лежать на прямой $y=-x$. Эта сторона не входит в первый квадрант (кроме точки $A$), поэтому не вносит вклада в площадь пересечения, кроме как ограничивая ее в точке $A$.

Теперь рассмотрим сторону $S_2$, смежную со стороной $AP$, — это сторона $PQ$. Она перпендикулярна $AP$, значит, ее угловой коэффициент равен $-1$. Уравнение прямой, содержащей $PQ$, проходит через точку $P(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{a}{\sqrt{2}})$:

$y - y_P = -1(x - x_P) \implies y - \frac{a}{\sqrt{2}} = -(x - \frac{a}{\sqrt{2}}) \implies y = -x + \frac{2a}{\sqrt{2}} \implies y = -x + a\sqrt{2}$.

Найдем точки пересечения этой прямой со сторонами квадрата $S_1$ ($y=a$ и $x=a$):

• Пересечение с прямой $y=a$:
  $a = -x + a\sqrt{2} \implies x = a\sqrt{2} - a = a(\sqrt{2}-1)$.
  Назовем эту точку $N$. Ее координаты $N(a(\sqrt{2}-1), a)$. Так как $0 < \sqrt{2}-1 < 1$, точка $N$ лежит на верхней стороне $CD$ квадрата $S_1$.
• Вершина $Q$ квадрата $S_2$ находится на расстоянии $a$ от $P$ вдоль прямой $y=-x+a\sqrt{2}$. Ее координаты $Q(0, a\sqrt{2})$, что находится за пределами квадрата $S_1$.

Таким образом, общая часть двух квадратов представляет собой четырехугольник $APND$, вершины которого имеют следующие координаты:

• $A(0,0)$ — общая вершина.
• $P(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{a}{\sqrt{2}})$ — вершина квадрата $S_2$.
• $N(a(\sqrt{2}-1), a)$ — точка пересечения стороны $S_2$ со стороной $S_1$.
• $D(0,a)$ — вершина квадрата $S_1$.

Для вычисления площади четырехугольника $APND$ разобьем его на два треугольника: $\triangle APD$ и $\triangle PND$.

1. Площадь треугольника $\triangle APD$.
Основание $AD$ лежит на оси $y$, его длина равна $a$. Высота, опущенная из вершины $P$ на основание $AD$, равна абсциссе точки $P$, то есть $\frac{a}{\sqrt{2}}$.
$S_{\triangle APD} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a^2}{2\sqrt{2}}$.

2. Площадь треугольника $\triangle PND$.
Основание $ND$ лежит на прямой $y=a$, его длина равна разности абсцисс точек $N$ и $D$:
$|ND| = x_N - x_D = a(\sqrt{2}-1) - 0 = a(\sqrt{2}-1)$.
Высота, опущенная из вершины $P$ на прямую $y=a$, равна разности ординат $a$ и $y_P$:
$h = a - y_P = a - \frac{a}{\sqrt{2}} = a(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) = a\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$.
$S_{\triangle PND} = \frac{1}{2} \cdot |ND| \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a(\sqrt{2}-1) \cdot a\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} = \frac{a^2(\sqrt{2}-1)^2}{2\sqrt{2}}$.

Общая площадь $S$ равна сумме площадей этих треугольников:
$S = S_{\triangle APD} + S_{\triangle PND} = \frac{a^2}{2\sqrt{2}} + \frac{a^2(\sqrt{2}-1)^2}{2\sqrt{2}} = \frac{a^2}{2\sqrt{2}} \left(1 + (\sqrt{2}-1)^2\right)$.
$S = \frac{a^2}{2\sqrt{2}} (1 + 2 - 2\sqrt{2} + 1) = \frac{a^2}{2\sqrt{2}} (4 - 2\sqrt{2}) = \frac{a^2 \cdot 2(2 - \sqrt{2})}{2\sqrt{2}} = \frac{a^2(2 - \sqrt{2})}{\sqrt{2}}$.
$S = a^2\left(\frac{2}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right) = a^2(\sqrt{2}-1)$.

Ответ: $a^2(\sqrt{2}-1)$.

629 Стороны треугольника равны 13 см, 5 см и 12 см. Найдите площадь этого треугольника.

Для нахождения площади треугольника со сторонами $13$ см, $5$ см и $12$ см, сначала определим тип этого треугольника. Проверим, не является ли он прямоугольным, используя теорему, обратную теореме Пифагора.

Согласно этой теореме, если сумма квадратов двух меньших сторон равна квадрату большей стороны, то треугольник является прямоугольным.

Обозначим стороны: $a = 5$ см, $b = 12$ см, $c = 13$ см (где $c$ — наибольшая сторона).

Вычислим сумму квадратов меньших сторон:
$a^2 + b^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$.

Вычислим квадрат большей стороны:
$c^2 = 13^2 = 169$.

Поскольку $a^2 + b^2 = c^2$ ($169 = 169$), треугольник является прямоугольным. Стороны длиной $5$ см и $12$ см являются его катетами.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$
Подставляем значения длин катетов:
$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = \frac{60}{2} = 30 \text{ см}^2$.

Ответ: $30 \text{ см}^2$.

630 Расстояние от точки М, лежащей внутри треугольника ABC, до прямой AB равно 6 см, а до прямой АС равно 2 см. Найдите расстояние от точки М до прямой ВС, если AB = 13 см, ВС = 14 см, АС = 15 см.

Для решения данной задачи воспользуемся методом площадей. Идея заключается в том, что площадь большого треугольника $ABC$ можно представить как сумму площадей трех меньших треугольников: $AMB$, $BMC$ и $AMC$, которые образуются при соединении точки $M$ с вершинами треугольника $A$, $B$ и $C$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — основание, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию. Расстояния от точки $M$ до сторон треугольника $ABC$ являются высотами для треугольников $AMB$, $BMC$ и $AMC$.

Пусть $d_{AB}$, $d_{AC}$ и $d_{BC}$ — расстояния от точки $M$ до сторон $AB$, $AC$ и $BC$ соответственно.По условию:
Сторона $AB = 13$ см, расстояние до нее $d_{AB} = 6$ см.
Сторона $AC = 15$ см, расстояние до нее $d_{AC} = 2$ см.
Сторона $BC = 14$ см, расстояние до нее $d_{BC}$ нужно найти.

Площади малых треугольников равны:
$S_{AMB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot d_{AB} = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 6 = 39$ см².
$S_{AMC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot d_{AC} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 2 = 15$ см².
$S_{BMC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot d_{BC} = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot d_{BC} = 7 \cdot d_{BC}$.

Сумма площадей этих треугольников равна площади треугольника $ABC$:
$S_{ABC} = S_{AMB} + S_{AMC} + S_{BMC} = 39 + 15 + 7 \cdot d_{BC} = 54 + 7 \cdot d_{BC}$.

Теперь найдем площадь треугольника $ABC$ по формуле Герона, так как известны длины всех его сторон ($a=14$, $b=15$, $c=13$).
1. Вычислим полупериметр $p$:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{14+15+13}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.
2. Вычислим площадь $S_{ABC}$ по формуле $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$:
$S_{ABC} = \sqrt{21(21-14)(21-15)(21-13)} = \sqrt{21 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 8}$
$S_{ABC} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3) \cdot (2^3)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84$ см².

Приравняем два полученных выражения для площади $S_{ABC}$ и найдем $d_{BC}$:
$84 = 54 + 7 \cdot d_{BC}$
$7 \cdot d_{BC} = 84 - 54$
$7 \cdot d_{BC} = 30$
$d_{BC} = \frac{30}{7}$ см.

Ответ: $\frac{30}{7}$ см.