Номер 627, страница 160 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 627, страница 160.

627 В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями АD = 17 см, ВС = 5 см и боковой стороной AB = 10 см через вершину В проведена прямая, делящая диагональ АС пополам и пересекающая основание AD в точке М. Найдите площадь треугольника BDM.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD = 17$ см, $BC = 5$ см и боковой стороной $AB = 10$ см. Через вершину $B$ проведена прямая, которая делит диагональ $AC$ в точке $O$ пополам ($AO = OC$) и пересекает основание $AD$ в точке $M$.

Нахождение положения точки M

Рассмотрим треугольники $\triangle AOM$ и $\triangle COB$. Поскольку $AD \parallel BC$ (основания трапеции), то $\angle OAM = \angle OCB$ как накрест лежащие углы при секущей $AC$. Углы $\angle AOM$ и $\angle COB$ равны как вертикальные. Стороны $AO$ и $CO$ равны по условию ($AO = OC$). Следовательно, $\triangle AOM = \triangle COB$ по стороне и двум прилежащим углам (признак ASA).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $AM = BC$. Так как $BC = 5$ см, то и $AM = 5$ см.

Теперь найдем длину отрезка $MD$, который будет являться основанием искомого треугольника $BDM$. $MD = AD - AM = 17 - 5 = 12$ см.

Нахождение высоты трапеции

Для вычисления площади треугольника $BDM$ необходима его высота, проведенная из вершины $B$ на основание $MD$. Эта высота совпадает с высотой трапеции $ABCD$. Обозначим ее $h$.

Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ на большее основание $AD$. В равнобедренной трапеции длина отрезка $AH$, отсекаемого высотой от большего основания, вычисляется по формуле: $AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{17 - 5}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора найдем высоту $h = BH$: $h = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см.

Вычисление площади треугольника BDM

Площадь треугольника $BDM$ равна половине произведения его основания $MD$ на высоту $h$: $S_{BDM} = \frac{1}{2} \cdot MD \cdot h$.

Подставим найденные значения $MD = 12$ см и $h = 8$ см: $S_{BDM} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$ см$^2$.

Ответ: $48$ см$^2$.