Номер 624, страница 160 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора. Дополнительные задачи - номер 624, страница 160.

Условие.

624 Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой высота равна h, а диагонали взаимно перпендикулярны.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 11.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Обозначим длины оснований $a = AD$ и $b = BC$. По условию, высота трапеции равна $h$, а диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$Для решения задачи необходимо найти связь между суммой оснований $(a+b)$ и высотой $h$.

Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.Поскольку трапеция $ABCD$ является равнобедренной, ее диагонали равны ($AC = BD$), а треугольники, образованные пересечением диагоналей и основаниями, являются равнобедренными. Таким образом, $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ — равнобедренные треугольники ($OA = OD$, $OB = OC$).

По условию задачи диагонали взаимно перпендикулярны, то есть $\angle AOD = \angle BOC = 90^\circ$. Следовательно, треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ являются равнобедренными прямоугольными треугольниками.

Проведем через точку $O$ высоту трапеции $MN$, где точка $M$ лежит на основании $BC$, а точка $N$ — на основании $AD$. Длина этой высоты равна $h$, то есть $MN = h$.Отрезок $OM$ является высотой в равнобедренном прямоугольном треугольнике $\triangle BOC$, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе $BC$. В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.Следовательно, $OM = \frac{BC}{2} = \frac{b}{2}$.

Аналогично, отрезок $ON$ является высотой в равнобедренном прямоугольном треугольнике $\triangle AOD$, проведенной к гипотенузе $AD$.Следовательно, $ON = \frac{AD}{2} = \frac{a}{2}$.

Теперь выразим полную высоту трапеции $h$ через ее части:$h = MN = OM + ON = \frac{b}{2} + \frac{a}{2} = \frac{a+b}{2}$.

Мы получили важное свойство для такой трапеции: ее высота равна ее средней линии.Теперь подставим найденное выражение для средней линии $\frac{a+b}{2}$ в формулу площади трапеции:$S = \left(\frac{a+b}{2}\right) \cdot h = h \cdot h = h^2$.

Ответ: $h^2$.