Номер 619, страница 160 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора. Дополнительные задачи - номер 619, страница 160.

Условие.

619 Площадь ромба равна 540 см², а одна из его диагоналей равна 4,5 дм. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 11.

Для решения задачи разобьем процесс на несколько шагов.

1. Приведение единиц измерения к единой системе

Площадь ромба дана в квадратных сантиметрах ($см^2$), а одна из диагоналей - в дециметрах (дм). Для удобства вычислений приведем все размеры к сантиметрам. Дано: площадь $S = 540 \text{ см}^2$, диагональ $d_1 = 4.5 \text{ дм}$.

Поскольку $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$, то $d_1 = 4.5 \cdot 10 = 45 \text{ см}$.

2. Нахождение второй диагонали ромба

Площадь ромба вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}d_1d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — его диагонали. Подставим известные значения, чтобы найти $d_2$:

$540 = \frac{1}{2} \cdot 45 \cdot d_2$

$1080 = 45 \cdot d_2$

$d_2 = \frac{1080}{45} = 24 \text{ см}$.

3. Нахождение стороны ромба

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Они разделяют ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Катеты этих треугольников равны половинам диагоналей ($\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$), а гипотенуза является стороной ромба ($a$).

Найдем длины катетов: $\frac{d_1}{2} = \frac{45}{2} = 22.5 \text{ см}$ и $\frac{d_2}{2} = \frac{24}{2} = 12 \text{ см}$.

По теореме Пифагора найдем сторону ромба $a$:

$a^2 = (22.5)^2 + 12^2 = 506.25 + 144 = 650.25$

$a = \sqrt{650.25} = 25.5 \text{ см}$.

4. Нахождение искомого расстояния

Расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба — это высота ($h$), опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу в одном из четырех прямоугольных треугольников, на которые диагонали делят ромб. Высота всего ромба ($H$) равна удвоенному искомому расстоянию ($H = 2h$).

Площадь ромба также можно найти по формуле $S = a \cdot H$, где $a$ — сторона ромба, а $H$ — его высота. Подставим в эту формулу $H = 2h$:

$S = a \cdot (2h)$

Подставим известные значения площади и стороны ромба:

$540 = 25.5 \cdot 2h$

$540 = 51h$

Отсюда находим $h$:

$h = \frac{540}{51}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:

$h = \frac{180}{17} \text{ см}$.

Ответ: $\frac{180}{17}$ см.