Номер 612, страница 159 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 612, страница 159.

612* Каждая сторона одного треугольника больше любой стороны другого треугольника. Следует ли из этого, что площадь первого треугольника больше площади второго треугольника?

Нет, из этого не следует, что площадь первого треугольника больше площади второго. Чтобы доказать это, достаточно привести контрпример, то есть найти два таких треугольника, которые удовлетворяют условию о сторонах, но не удовлетворяют заключению о площади.

Идея контрпримера заключается в том, что площадь треугольника зависит не только от длин его сторон, но и от углов между ними. Треугольник с очень большими сторонами может быть «плоским» или «вытянутым», если один из его углов близок к $180^\circ$. В этом случае его высота, а следовательно, и площадь, будут очень малы. В то же время, треугольник с меньшими сторонами, форма которого близка к равносторонней, может иметь значительно большую площадь.

Построение контрпримера

Рассмотрим два треугольника, $T_1$ и $T_2$.

Треугольник $T_2$

Возьмем в качестве второго треугольника равносторонний треугольник со сторонами $a_2 = b_2 = c_2 = 10$. Максимальная сторона этого треугольника равна 10. Площадь $S_2$ такого треугольника вычисляется по формуле:

$S_2 = \frac{a_2^2\sqrt{3}}{4} = \frac{10^2\sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3}$.

Приблизительное значение площади: $S_2 \approx 25 \times 1.732 = 43.3$.

Треугольник $T_1$

Согласно условию, все стороны первого треугольника ($a_1, b_1, c_1$) должны быть больше любой стороны второго, то есть больше 10. Выберем стороны для $T_1$ так, чтобы он был «плоским». Пусть его стороны равны:

$a_1 = 11$, $b_1 = 12$, $c_1 = 22$.

Проверим условия для $T_1$. Во-первых, все его стороны ($11, 12, 22$) больше 10. Во-вторых, для него должно выполняться неравенство треугольника: сумма длин двух любых сторон должна быть больше длины третьей стороны. Проверим главное из них: $11 + 12 > 22$, что эквивалентно $23 > 22$. Это верно. Остальные неравенства ($11+22>12$ и $12+22>11$) очевидно верны. Таким образом, треугольник $T_1$ с заданными сторонами существует.

Сравнение площадей

Вычислим площадь $S_1$ с помощью формулы Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр.

Полупериметр $p_1$ для треугольника $T_1$ равен:

$p_1 = \frac{11 + 12 + 22}{2} = \frac{45}{2} = 22.5$.

Теперь вычислим площадь $S_1$:

$S_1 = \sqrt{22.5 \cdot (22.5 - 11) \cdot (22.5 - 12) \cdot (22.5 - 22)}$

$S_1 = \sqrt{22.5 \cdot 11.5 \cdot 10.5 \cdot 0.5} = \sqrt{1358.4375} \approx 36.86$.

Теперь сравним площади двух треугольников:

$S_1 \approx 36.86$

$S_2 \approx 43.3$

Очевидно, что $S_1 < S_2$.

Мы построили пример, в котором каждая сторона первого треугольника больше любой стороны второго, но площадь первого треугольника оказалась меньше площади второго. Следовательно, исходное утверждение неверно.

Ответ: Нет, не следует.