Страница 159 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

605 Докажите, что площадь квадрата, построенного на катете равнобедренного прямоугольного треугольника, вдвое больше площади квадрата, построенного на высоте, проведённой к гипотенузе.

Пусть дан равнобедренный прямоугольный треугольник. Обозначим длину его равных катетов как $a$, а длину высоты, проведенной к гипотенузе, как $h$.

Площадь квадрата, построенного на катете, равна $S_{катет} = a^2$.

Площадь квадрата, построенного на высоте, проведенной к гипотенузе, равна $S_{высота} = h^2$.

Нам необходимо доказать, что $S_{катет} = 2 \cdot S_{высота}$, то есть, что $a^2 = 2h^2$.

Для доказательства воспользуемся методом площадей. Площадь исходного треугольника можно вычислить двумя способами.

Способ 1: Через катеты.Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2}a^2$

Способ 2: Через гипотенузу и высоту.Площадь треугольника также равна половине произведения основания на высоту. В нашем случае основанием является гипотенуза $c$, а высотой — $h$.Найдем длину гипотенузы $c$ по теореме Пифагора:$c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$$c = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Теперь найдем площадь треугольника через гипотенузу и высоту:$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h = \frac{1}{2} (a\sqrt{2}) h$

Поскольку оба выражения представляют площадь одного и того же треугольника, мы можем их приравнять:$\frac{1}{2}a^2 = \frac{1}{2} a\sqrt{2} h$

Умножим обе части уравнения на 2 и разделим на $a$ (поскольку длина катета $a$ не может быть равна нулю):$a = \sqrt{2} h$

Возведем обе части полученного равенства в квадрат:$a^2 = (\sqrt{2}h)^2$$a^2 = 2h^2$

Так как $a^2 = S_{катет}$ и $h^2 = S_{высота}$, то мы доказали, что:$S_{катет} = 2 \cdot S_{высота}$

Это означает, что площадь квадрата, построенного на катете равнобедренного прямоугольного треугольника, вдвое больше площади квадрата, построенного на высоте, проведённой к гипотенузе.

Ответ: Что и требовалось доказать.

606 Площадь земельного участка равна 27 га. Выразите площадь этого же участка: а) в квадратных метрах; б) в квадратных километрах.

а) Чтобы выразить площадь в квадратных метрах, воспользуемся соотношением между гектаром и квадратным метром. Один гектар (га) — это площадь квадрата со стороной 100 метров. Таким образом, площадь одного гектара в квадратных метрах равна:

$1 \text{ га} = 100 \text{ м} \times 100 \text{ м} = 10 000 \text{ м}^2$

Теперь переведем 27 гектаров в квадратные метры, умножив это число на 10 000:

$27 \text{ га} = 27 \times 10 000 \text{ м}^2 = 270 000 \text{ м}^2$

Ответ: $270 000 \text{ м}^2$.

б) Чтобы выразить площадь в квадратных километрах, установим соотношение между гектаром и квадратным километром. Один квадратный километр ($ \text{км}^2 $) — это площадь квадрата со стороной 1000 метров. Его площадь в квадратных метрах равна:

$1 \text{ км}^2 = 1000 \text{ м} \times 1000 \text{ м} = 1 000 000 \text{ м}^2$

Поскольку $1 \text{ га} = 10 000 \text{ м}^2$, мы можем найти, сколько гектаров содержится в одном квадратном километре:

$1 \text{ км}^2 = \frac{1 000 000 \text{ м}^2}{10 000 \text{ м}^2/\text{га}} = 100 \text{ га}$

Из этого следует, что 1 гектар составляет одну сотую часть квадратного километра:

$1 \text{ га} = \frac{1}{100} \text{ км}^2 = 0,01 \text{ км}^2$

Чтобы перевести 27 гектаров в квадратные километры, нужно умножить это число на 0,01 (или разделить на 100):

$27 \text{ га} = 27 \times 0,01 \text{ км}^2 = 0,27 \text{ км}^2$

Ответ: $0,27 \text{ км}^2$.

607 Высоты параллелограмма равны 5 см и 4 см, а периметр равен 42 см. Найдите площадь параллелограмма.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$. Пусть $h_a$ и $h_b$ — высоты, проведенные к этим сторонам соответственно. По условию, высоты равны 5 см и 4 см. В параллелограмме большей стороне соответствует меньшая высота, а меньшей стороне — большая. Поэтому, если мы обозначим меньшую сторону как $a$, а большую как $b$, то высота, проведенная к стороне $a$, будет $h_a = 5$ см, а высота, проведенная к стороне $b$, будет $h_b = 4$ см.

Площадь параллелограмма $S$ можно вычислить по формуле $S = \text{основание} \times \text{высота}$. Мы можем записать это двумя способами: $S = a \cdot h_a = a \cdot 5$ $S = b \cdot h_b = b \cdot 4$

Поскольку площадь одна и та же, мы можем приравнять эти два выражения: $5a = 4b$ Из этого соотношения выразим одну сторону через другую: $a = \frac{4}{5}b$

Периметр параллелограмма $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. По условию, периметр равен 42 см. $2(a+b) = 42$ $a+b = 21$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными: $a = \frac{4}{5}b$ $a+b = 21$

Подставим выражение для $a$ из первого уравнения во второе: $\frac{4}{5}b + b = 21$ $\frac{4b + 5b}{5} = 21$ $\frac{9b}{5} = 21$ $b = 21 \cdot \frac{5}{9} = \frac{7 \cdot 3 \cdot 5}{3 \cdot 3} = \frac{35}{3}$ см.

Теперь, зная $b$, мы можем найти площадь параллелограмма, используя формулу $S = b \cdot h_b$: $S = \frac{35}{3} \cdot 4 = \frac{140}{3}$ см$^2$.

Для проверки можно найти сторону $a$ и вычислить площадь через нее: $a = 21 - b = 21 - \frac{35}{3} = \frac{63 - 35}{3} = \frac{28}{3}$ см. $S = a \cdot h_a = \frac{28}{3} \cdot 5 = \frac{140}{3}$ см$^2$.

Результаты совпадают. Площадь параллелограмма равна $\frac{140}{3}$ см$^2$, что в виде смешанного числа равно $46\frac{2}{3}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{140}{3}$ см$^2$ (или $46\frac{2}{3}$ см$^2$).

608 Найдите периметр параллелограмма, если его площадь равна 24 см², а точка пересечения диагоналей удалена от сторон на 2 см и 3 см.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$. Площадь параллелограмма $S$ задана и составляет $24 \text{ см}^2$. Точка пересечения диагоналей удалена от сторон на расстояния $2 \text{ см}$ и $3 \text{ см}$.

Точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии. Расстояние от этой точки до одной из сторон равно половине высоты, проведенной к этой стороне. Таким образом, высоты параллелограмма, обозначим их $h_a$ и $h_b$, в два раза больше заданных расстояний.

Вычислим высоты:$h_a = 2 \cdot 2 = 4 \text{ см}$и$h_b = 2 \cdot 3 = 6 \text{ см}$.

Площадь параллелограмма также можно выразить как произведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне: $S = a \cdot h_a$ и $S = b \cdot h_b$. Отсюда мы можем найти длины сторон $a$ и $b$.

Найдем сторону $a$, к которой проведена высота $h_a$:$a = \frac{S}{h_a} = \frac{24}{4} = 6 \text{ см}$.

Найдем сторону $b$, к которой проведена высота $h_b$:$b = \frac{S}{h_b} = \frac{24}{6} = 4 \text{ см}$.

Периметр параллелограмма $P$ — это удвоенная сумма его смежных сторон: $P = 2(a+b)$.

Подставим найденные значения сторон:$P = 2(6 + 4) = 2 \cdot 10 = 20 \text{ см}$.

Ответ: $20 \text{ см}$.

609 Меньшая сторона параллелограмма равна 29 см. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей к большей стороне, делит её на отрезки, равные 33 см и 12 см. Найдите площадь параллелограмма.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, где $AB$ и $CD$ — меньшие стороны, а $AD$ и $BC$ — большие стороны. По условию, меньшая сторона равна 29 см, то есть $AB = 29$ см.

Перпендикуляр, проведенный из точки пересечения диагоналей $O$ к большей стороне $AD$, обозначим как $OH$, где $H$ — основание перпендикуляра на стороне $AD$. По условию, этот перпендикуляр делит сторону $AD$ на отрезки длиной 33 см и 12 см.

Таким образом, длина большей стороны $AD$ равна сумме длин этих отрезков: $AD = 33 + 12 = 45$ см.

Площадь параллелограмма вычисляется по формуле $S = a \cdot h_a$, где $a$ — сторона, а $h_a$ — высота, проведенная к этой стороне. В нашем случае, $S_{ABCD} = AD \cdot h_{AD}$. Найдем высоту $h_{AD}$.

Проведем высоту $BK$ из вершины $B$ на прямую, содержащую сторону $AD$. Длина высоты $BK$ равна $h_{AD}$.

Рассмотрим треугольник, образованный точками $B$, $K$ и $D$. Поскольку диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, точка $O$ является серединой диагонали $BD$. Так как $BK$ и $OH$ оба перпендикулярны прямой $AD$, они параллельны друг другу ($BK \parallel OH$).

В $\triangle BKD$ отрезок $OH$ выходит из середины стороны $BD$ и параллелен стороне $BK$. Следовательно, по теореме о средней линии треугольника, $OH$ является средней линией $\triangle BKD$. Это означает, что точка $H$ является серединой отрезка $KD$.

Рассмотрим два возможных случая для отрезков, на которые точка $H$ делит сторону $AD$.

Случай 1: $AH = 33$ см и $HD = 12$ см

Поскольку $H$ — середина $KD$, то $KH = HD = 12$ см. Точки $A, K, H, D$ расположены на одной прямой, и так как $AH > KH$, точка $K$ лежит между $A$ и $H$. Длину отрезка $AK$ находим из соотношения $AH = AK + KH$: $AK = AH - KH = 33 - 12 = 21$ см.

Случай 2: $AH = 12$ см и $HD = 33$ см

Поскольку $H$ — середина $KD$, то $KH = HD = 33$ см. В этом случае $KH > AH$, поэтому точка $A$ лежит между $K$ и $H$. Длину отрезка $AK$ (или $KA$) находим из соотношения $KH = KA + AH$: $KA = KH - AH = 33 - 12 = 21$ см.

В обоих случаях мы получаем, что длина отрезка $AK$ равна 21 см. Этот отрезок является катетом в прямоугольном треугольнике $ABK$ (так как $BK$ — высота, $\angle AKB = 90^\circ$).

По теореме Пифагора для $\triangle ABK$: $AB^2 = AK^2 + BK^2$

Отсюда находим высоту $BK$: $BK^2 = AB^2 - AK^2 = 29^2 - 21^2$

Используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: $BK^2 = (29 - 21)(29 + 21) = 8 \cdot 50 = 400$

$BK = \sqrt{400} = 20$ см.

Итак, высота параллелограмма, проведенная к большей стороне, равна 20 см. Теперь можем найти его площадь:

$S_{ABCD} = AD \cdot BK = 45 \cdot 20 = 900$ см$^2$.

Ответ: $900$ см$^2$.

610 Докажите, что из всех треугольников, у которых одна сторона равна а, а другая — b, наибольшую площадь имеет тот, у которого эти стороны перпендикулярны.

Рассмотрим произвольный треугольник, у которого две стороны имеют заданные длины a и b. Пусть угол между этими сторонами равен ?.

Площадь такого треугольника (S) вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma)$

В этой формуле значения длин сторон a и b являются постоянными величинами (по условию задачи). Следовательно, площадь треугольника S зависит только от значения $\sin(\gamma)$, где ? — угол между сторонами a и b.

Угол в треугольнике может принимать значения от $0^\circ$ до $180^\circ$. В этом диапазоне функция синуса $\sin(\gamma)$ принимает значения от 0 до 1. $0 < \gamma < 180^\circ \implies 0 < \sin(\gamma) \le 1$

Для того чтобы площадь S была наибольшей, значение $\sin(\gamma)$ должно быть максимальным. Максимальное значение функции синуса равно 1. $\sin(\gamma)_{max} = 1$

Это значение достигается, когда угол $\gamma = 90^\circ$.

Если угол между сторонами a и b равен $90^\circ$, это означает, что эти стороны перпендикулярны. В этом случае треугольник является прямоугольным, а его площадь равна: $S_{max} = \frac{1}{2}ab \sin(90^\circ) = \frac{1}{2}ab \cdot 1 = \frac{1}{2}ab$

Для любого другого угла $\gamma \neq 90^\circ$, значение $\sin(\gamma)$ будет меньше 1, и, соответственно, площадь треугольника будет меньше, чем $\frac{1}{2}ab$.

Таким образом, из всех треугольников с двумя заданными сторонами a и b наибольшую площадь имеет тот, у которого эти стороны перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Ответ: Площадь треугольника со сторонами a, b и углом ? между ними вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma)$. Так как a и b — постоянные величины, площадь S максимальна, когда максимален $\sin(\gamma)$. Наибольшее значение $\sin(\gamma)$ равно 1, что соответствует углу $\gamma = 90^\circ$. Следовательно, из всех рассматриваемых треугольников наибольшую площадь имеет тот, у которого стороны a и b перпендикулярны.

611 Как провести две прямые через вершину квадрата, чтобы разделить его на три фигуры, площади которых равны?

Пусть дан квадрат $ABCD$ со стороной $a$. Его площадь $S$ равна $a^2$. Задача состоит в том, чтобы провести через одну из вершин две прямые, которые разделят квадрат на три фигуры равной площади. Это означает, что площадь каждой из трех полученных фигур должна быть равна $\frac{S}{3} = \frac{a^2}{3}$.

Выберем одну из вершин, например, вершину $A$. Две прямые, которые мы проведем, должны выходить из этой вершины и пересекать стороны квадрата, не смежные с вершиной $A$. Такими сторонами являются $BC$ и $CD$. Пусть первая прямая пересекает сторону $BC$ в точке $E$, а вторая прямая пересекает сторону $CD$ в точке $F$. В результате такого построения квадрат $ABCD$ будет разделен на три фигуры: прямоугольный треугольник $ABE$, прямоугольный треугольник $ADF$ и четырехугольник $AECF$.

Найдем положения точек $E$ и $F$, при которых площади этих фигур будут равны $\frac{a^2}{3}$.

Рассмотрим площадь треугольника $ABE$. Это прямоугольный треугольник с катетами $AB$ и $BE$. Его площадь вычисляется по формуле $S_{ABE} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BE$. Поскольку сторона квадрата $AB = a$, а требуемая площадь $S_{ABE} = \frac{a^2}{3}$, мы можем составить уравнение для нахождения длины отрезка $BE$:

$\frac{1}{2} \cdot a \cdot BE = \frac{a^2}{3}$

Из этого уравнения находим $BE$:

$BE = \frac{2a^2}{3a} = \frac{2}{3}a$

Таким образом, точка $E$ должна находиться на стороне $BC$ на расстоянии $\frac{2}{3}$ длины стороны от вершины $B$.

Аналогичные рассуждения проведем для треугольника $ADF$. Это прямоугольный треугольник с катетами $AD$ и $DF$. Его площадь $S_{ADF} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DF$. Приравнивая ее к $\frac{a^2}{3}$ и учитывая, что $AD = a$, получаем:

$\frac{1}{2} \cdot a \cdot DF = \frac{a^2}{3}$

Отсюда находим $DF$:

$DF = \frac{2a^2}{3a} = \frac{2}{3}a$

Следовательно, точка $F$ должна находиться на стороне $CD$ на расстоянии $\frac{2}{3}$ длины стороны от вершины $D$.

Наконец, проверим, будет ли площадь третьей фигуры, четырехугольника $AECF$, также равна $\frac{a^2}{3}$. Ее площадь можно найти, вычтя из общей площади квадрата площади двух уже рассмотренных треугольников:

$S_{AECF} = S_{ABCD} - S_{ABE} - S_{ADF} = a^2 - \frac{a^2}{3} - \frac{a^2}{3} = \frac{a^2}{3}$

Условие выполняется. Следовательно, искомые прямые — это отрезки $AE$ и $AF$, где точки $E$ и $F$ расположены на сторонах $BC$ и $CD$ так, как было найдено выше.

Ответ: Необходимо выбрать любую вершину квадрата. Из этой вершины провести два отрезка к двум сторонам, которые не являются смежными с выбранной вершиной. Концы этих отрезков должны делить соответствующие стороны в отношении $2:1$, если считать от вершин, смежных с исходной. Другими словами, если сторона квадрата равна $a$, то на каждой из двух сторон, не выходящих из выбранной вершины, нужно отметить точку на расстоянии $\frac{2}{3}a$ от "ближнего" к ней угла и соединить эти точки с исходной вершиной.

612* Каждая сторона одного треугольника больше любой стороны другого треугольника. Следует ли из этого, что площадь первого треугольника больше площади второго треугольника?

Нет, из этого не следует, что площадь первого треугольника больше площади второго. Чтобы доказать это, достаточно привести контрпример, то есть найти два таких треугольника, которые удовлетворяют условию о сторонах, но не удовлетворяют заключению о площади.

Идея контрпримера заключается в том, что площадь треугольника зависит не только от длин его сторон, но и от углов между ними. Треугольник с очень большими сторонами может быть «плоским» или «вытянутым», если один из его углов близок к $180^\circ$. В этом случае его высота, а следовательно, и площадь, будут очень малы. В то же время, треугольник с меньшими сторонами, форма которого близка к равносторонней, может иметь значительно большую площадь.

Построение контрпримера

Рассмотрим два треугольника, $T_1$ и $T_2$.

Треугольник $T_2$

Возьмем в качестве второго треугольника равносторонний треугольник со сторонами $a_2 = b_2 = c_2 = 10$. Максимальная сторона этого треугольника равна 10. Площадь $S_2$ такого треугольника вычисляется по формуле:

$S_2 = \frac{a_2^2\sqrt{3}}{4} = \frac{10^2\sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3}$.

Приблизительное значение площади: $S_2 \approx 25 \times 1.732 = 43.3$.

Треугольник $T_1$

Согласно условию, все стороны первого треугольника ($a_1, b_1, c_1$) должны быть больше любой стороны второго, то есть больше 10. Выберем стороны для $T_1$ так, чтобы он был «плоским». Пусть его стороны равны:

$a_1 = 11$, $b_1 = 12$, $c_1 = 22$.

Проверим условия для $T_1$. Во-первых, все его стороны ($11, 12, 22$) больше 10. Во-вторых, для него должно выполняться неравенство треугольника: сумма длин двух любых сторон должна быть больше длины третьей стороны. Проверим главное из них: $11 + 12 > 22$, что эквивалентно $23 > 22$. Это верно. Остальные неравенства ($11+22>12$ и $12+22>11$) очевидно верны. Таким образом, треугольник $T_1$ с заданными сторонами существует.

Сравнение площадей

Вычислим площадь $S_1$ с помощью формулы Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр.

Полупериметр $p_1$ для треугольника $T_1$ равен:

$p_1 = \frac{11 + 12 + 22}{2} = \frac{45}{2} = 22.5$.

Теперь вычислим площадь $S_1$:

$S_1 = \sqrt{22.5 \cdot (22.5 - 11) \cdot (22.5 - 12) \cdot (22.5 - 22)}$

$S_1 = \sqrt{22.5 \cdot 11.5 \cdot 10.5 \cdot 0.5} = \sqrt{1358.4375} \approx 36.86$.

Теперь сравним площади двух треугольников:

$S_1 \approx 36.86$

$S_2 \approx 43.3$

Очевидно, что $S_1 < S_2$.

Мы построили пример, в котором каждая сторона первого треугольника больше любой стороны второго, но площадь первого треугольника оказалась меньше площади второго. Следовательно, исходное утверждение неверно.

Ответ: Нет, не следует.

613* Докажите, что сумма расстояний от точки на основании равнобедренного треугольника до боковых сторон не зависит от положения этой точки.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Пусть $P$ — произвольная точка на основании $AC$. Требуется доказать, что сумма расстояний от точки $P$ до боковых сторон $AB$ и $BC$ не зависит от положения точки $P$.

Обозначим расстояния от точки $P$ до боковых сторон $AB$ и $BC$ как $h_1$ и $h_2$ соответственно. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проведем перпендикуляры $PM$ к стороне $AB$ (где $M$ лежит на $AB$) и $PN$ к стороне $BC$ (где $N$ лежит на $BC$). Таким образом, по определению, $PM = h_1$ и $PN = h_2$.

Для доказательства воспользуемся методом площадей. Соединим точку $P$ с вершиной $B$. Отрезок $BP$ делит треугольник $ABC$ на два меньших треугольника: $\triangle ABP$ и $\triangle CBP$. Очевидно, что площадь большого треугольника равна сумме площадей двух меньших: $S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABP} + S_{\triangle CBP}$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$, где $a$ — длина стороны, а $h_a$ — высота, проведенная к этой стороне.

Для треугольника $\triangle ABP$ сторона $AB$ является основанием, а перпендикуляр $PM = h_1$ — высотой, проведенной к этому основанию из вершины $P$. Его площадь равна: $S_{\triangle ABP} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot PM = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_1$.

Аналогично, для треугольника $\triangle CBP$ сторона $BC$ является основанием, а перпендикуляр $PN = h_2$ — высотой. Его площадь равна: $S_{\triangle CBP} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot PN = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_2$.

Подставим выражения для площадей $S_{\triangle ABP}$ и $S_{\triangle CBP}$ в исходное равенство: $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_1 + \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_2$.

Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, его боковые стороны равны: $AB = BC$. Обозначим длину боковой стороны как $b$. Тогда равенство можно переписать: $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_1 + \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_2 = \frac{1}{2} b (h_1 + h_2)$.

Теперь выразим площадь треугольника $ABC$ другим способом. Проведем высоту из вершины $A$ к боковой стороне $BC$. Обозначим ее $AH_{BC}$. Длина этой высоты является постоянной величиной для данного треугольника. Площадь треугольника $ABC$ может быть выражена как: $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH_{BC} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot AH_{BC}$.

Теперь приравняем два полученных выражения для площади треугольника $ABC$: $\frac{1}{2} b (h_1 + h_2) = \frac{1}{2} b \cdot AH_{BC}$.

Поскольку длина боковой стороны $b \neq 0$, мы можем сократить обе части равенства на $\frac{1}{2} b$: $h_1 + h_2 = AH_{BC}$.

Величина $AH_{BC}$ — это высота равнобедренного треугольника, проведенная из вершины при основании к боковой стороне. Для конкретного треугольника ее длина является постоянной величиной (константой). Следовательно, и сумма расстояний $h_1 + h_2$ от любой точки $P$ на основании до боковых сторон также является постоянной величиной, равной этой высоте. Таким образом, эта сумма не зависит от выбора точки $P$ на основании $AC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Сумма расстояний от произвольной точки на основании равнобедренного треугольника до его боковых сторон равна высоте, опущенной из вершины основания на боковую сторону. Так как для данного треугольника эта высота является постоянной величиной, то и указанная сумма расстояний не зависит от положения точки на основании.

614 Докажите, что сумма расстояний от точки, лежащей внутри равностороннего треугольника, до его сторон не зависит от положения этой точки.

Доказательство:

Это утверждение известно как теорема Вивиани. Для доказательства воспользуемся методом площадей.

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$ и высотой $H$. Выберем произвольную точку $P$, лежащую внутри этого треугольника. Обозначим перпендикулярные расстояния от точки $P$ до сторон $BC$, $AC$ и $AB$ как $h_1$, $h_2$ и $h_3$ соответственно. Нам нужно доказать, что сумма $h_1 + h_2 + h_3$ является постоянной величиной.

Соединим точку $P$ с вершинами треугольника $A$, $B$ и $C$. Это действие разделит большой треугольник $ABC$ на три меньших треугольника: $\triangle PBC$, $\triangle PCA$ и $\triangle PAB$.

Площадь исходного треугольника $ABC$ равна сумме площадей этих трех треугольников:
$S_{ABC} = S_{PBC} + S_{PCA} + S_{PAB}$

Площадь треугольника $ABC$ можно выразить через его сторону $a$ и высоту $H$:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} a H$

Теперь найдем площади трех меньших треугольников. В каждом из них сторона большого треугольника ($a$) служит основанием, а соответствующее расстояние от точки $P$ ($h_1, h_2, h_3$) — высотой.
Площадь $\triangle PBC = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_1$
Площадь $\triangle PCA = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_2$
Площадь $\triangle PAB = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_3$

Подставим выражения для площадей маленьких треугольников в исходное равенство:
$S_{ABC} = \frac{1}{2}ah_1 + \frac{1}{2}ah_2 + \frac{1}{2}ah_3$
Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}a$ за скобки:
$S_{ABC} = \frac{1}{2}a(h_1 + h_2 + h_3)$

Теперь мы имеем два выражения для площади треугольника $ABC$. Приравняем их:
$\frac{1}{2}aH = \frac{1}{2}a(h_1 + h_2 + h_3)$

Поскольку длина стороны $a \neq 0$, мы можем сократить обе части уравнения на $\frac{1}{2}a$:
$H = h_1 + h_2 + h_3$

Таким образом, мы доказали, что сумма расстояний от произвольной точки внутри равностороннего треугольника до его сторон равна высоте этого треугольника. Так как высота $H$ для данного треугольника является постоянной величиной, то и сумма этих расстояний не зависит от положения точки $P$ внутри треугольника.

Ответ: Сумма расстояний от точки, лежащей внутри равностороннего треугольника, до его сторон постоянна и равна высоте этого треугольника. Следовательно, эта сумма не зависит от положения точки.

615* Через точку D, лежащую на стороне ВС треугольника ABC, проведены прямые, параллельные двум другим сторонам и пересекающие стороны AB и АС соответственно в точках Е и F. Докажите, что треугольники CDE и BDF равновеликие.

Пусть дан треугольник $ABC$. На его стороне $BC$ выбрана точка $D$. Через точку $D$ проведены прямые, параллельные двум другим сторонам: прямая, параллельная стороне $AC$, пересекает сторону $AB$ в точке $E$ (то есть, $DE \parallel AC$), а прямая, параллельная стороне $AB$, пересекает сторону $AC$ в точке $F$ (то есть, $DF \parallel AB$).

Требуется доказать, что треугольники $CDE$ и $BDF$ равновеликие, то есть их площади равны. Обозначим площади этих треугольников как $S_{CDE}$ и $S_{BDF}$.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле: половина произведения длины основания на высоту.

Для треугольника $CDE$ в качестве основания выберем отрезок $CD$, лежащий на прямой $BC$. Высота, проведенная к этому основанию из вершины $E$, будет равна длине перпендикуляра $h_E$, опущенного из точки $E$ на прямую $BC$. Площадь треугольника $CDE$ выражается как: $S_{CDE} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot h_E$.

Для треугольника $BDF$ в качестве основания выберем отрезок $BD$, также лежащий на прямой $BC$. Высота, проведенная к этому основанию из вершины $F$, будет равна длине перпендикуляра $h_F$, опущенного из точки $F$ на прямую $BC$. Площадь треугольника $BDF$ выражается как: $S_{BDF} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot h_F$.

Таким образом, для доказательства равенства площадей $S_{CDE} = S_{BDF}$ нам необходимо доказать, что $CD \cdot h_E = BD \cdot h_F$.

Выразим высоты $h_E$ и $h_F$ через стороны и углы треугольника $ABC$. Поскольку точка $E$ лежит на стороне $AB$, то из прямоугольного треугольника, образованного высотой $h_E$ и гипотенузой $BE$, мы можем найти высоту: $h_E = BE \cdot \sin(\angle B)$. Аналогично, поскольку точка $F$ лежит на стороне $AC$, то $h_F = CF \cdot \sin(\angle C)$.

Подставим эти выражения для высот в равенство, которое мы доказываем: $CD \cdot BE \cdot \sin(\angle B) = BD \cdot CF \cdot \sin(\angle C)$.

Теперь применим обобщенную теорему Фалеса (или рассмотрим подобные треугольники). Из условия $DE \parallel AC$ следует, что $\triangle BDE \sim \triangle BCA$. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: $\frac{BE}{AB} = \frac{BD}{BC} \implies BE = AB \cdot \frac{BD}{BC}$.

Из условия $DF \parallel AB$ следует, что $\triangle CDF \sim \triangle CBA$. Из подобия этих треугольников следует: $\frac{CF}{AC} = \frac{CD}{BC} \implies CF = AC \cdot \frac{CD}{BC}$.

Подставим найденные выражения для $BE$ и $CF$ в наше уравнение: $CD \cdot \left(AB \cdot \frac{BD}{BC}\right) \cdot \sin(\angle B) = BD \cdot \left(AC \cdot \frac{CD}{BC}\right) \cdot \sin(\angle C)$.

Сократим обе части равенства на $BC$ и на $CD \cdot BD$ (эти величины не равны нулю, так как $D$ — точка на стороне $BC$, не совпадающая с вершинами). Получим: $AB \cdot \sin(\angle B) = AC \cdot \sin(\angle C)$.

Это равенство является известным соотношением в треугольнике $ABC$ и следует напрямую из теоремы синусов. По теореме синусов: $\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}$.

Умножив обе части пропорции на $\sin(\angle B) \cdot \sin(\angle C)$, мы получим $AC \cdot \sin(\angle C) = AB \cdot \sin(\angle B)$, что и требовалось. Так как мы пришли к верному тождеству, то и исходное равенство $S_{CDE} = S_{BDF}$ является верным.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольники $CDE$ и $BDF$ являются равновеликими.

616 В трапеции ABCD с боковыми сторонами AB и CD диагонали пересекаются в точке О.

а) Сравните площади треугольников ABD и ACD.

б) Сравните площади треугольников ABО и CDO.

в) Докажите, что выполняется равенство ОА ⋅ ОВ = ОС ⋅ OD.

а) Рассмотрим треугольники $ABD$ и $ACD$. У этих треугольников общее основание $AD$. Проведем высоты из вершин $B$ и $C$ на прямую, содержащую основание $AD$. Пусть $BH_1$ и $CH_2$ — высоты. Так как $ABCD$ — трапеция, её основания $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$). Расстояние между параллельными прямыми постоянно, поэтому высоты $BH_1$ и $CH_2$ равны. Обозначим эту высоту как $h$.
Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.
Для треугольника $ABD$ площадь равна $S_{ABD} = \frac{1}{2} AD \cdot BH_1 = \frac{1}{2} AD \cdot h$.
Для треугольника $ACD$ площадь равна $S_{ACD} = \frac{1}{2} AD \cdot CH_2 = \frac{1}{2} AD \cdot h$.
Следовательно, площади этих треугольников равны.
Ответ: Площади треугольников $ABD$ и $ACD$ равны: $S_{ABD} = S_{ACD}$.

б) Рассмотрим площади треугольников, полученных в пункте а).
Площадь треугольника $ABD$ состоит из площадей треугольников $ABO$ и $AOD$. То есть, $S_{ABD} = S_{ABO} + S_{AOD}$.
Площадь треугольника $ACD$ состоит из площадей треугольников $CDO$ и $AOD$. То есть, $S_{ACD} = S_{CDO} + S_{AOD}$.
Из пункта а) мы знаем, что $S_{ABD} = S_{ACD}$.
Приравнивая выражения, получаем:
$S_{ABO} + S_{AOD} = S_{CDO} + S_{AOD}$.
Вычтем из обеих частей равенства общую для них площадь треугольника $AOD$:
$S_{ABO} = S_{CDO}$.
Ответ: Площади треугольников $ABO$ и $CDO$ равны: $S_{ABO} = S_{CDO}$.

в) Площадь треугольника можно также найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$, где $a$ и $b$ — стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.
Пусть $\angle AOB = \alpha$. Тогда вертикальный ему угол $\angle COD = \alpha$.
Запишем площади треугольников $ABO$ и $CDO$ с использованием этой формулы:
$S_{ABO} = \frac{1}{2} OA \cdot OB \cdot \sin(\angle AOB) = \frac{1}{2} OA \cdot OB \cdot \sin(\alpha)$.
$S_{CDO} = \frac{1}{2} OC \cdot OD \cdot \sin(\angle COD) = \frac{1}{2} OC \cdot OD \cdot \sin(\alpha)$.
В пункте б) было доказано, что $S_{ABO} = S_{CDO}$. Следовательно, мы можем приравнять правые части полученных выражений:
$\frac{1}{2} OA \cdot OB \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2} OC \cdot OD \cdot \sin(\alpha)$.
Поскольку диагонали трапеции пересекаются, угол $\alpha$ не равен $0^\circ$ или $180^\circ$, а значит $\sin(\alpha) \neq 0$. Мы можем разделить обе части равенства на $\frac{1}{2}\sin(\alpha)$, не равное нулю.
Получаем: $OA \cdot OB = OC \cdot OD$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство $OA \cdot OB = OC \cdot OD$ доказано.