Номер 605, страница 159 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 605, страница 159.

605 Докажите, что площадь квадрата, построенного на катете равнобедренного прямоугольного треугольника, вдвое больше площади квадрата, построенного на высоте, проведённой к гипотенузе.

Пусть дан равнобедренный прямоугольный треугольник. Обозначим длину его равных катетов как $a$, а длину высоты, проведенной к гипотенузе, как $h$.

Площадь квадрата, построенного на катете, равна $S_{катет} = a^2$.

Площадь квадрата, построенного на высоте, проведенной к гипотенузе, равна $S_{высота} = h^2$.

Нам необходимо доказать, что $S_{катет} = 2 \cdot S_{высота}$, то есть, что $a^2 = 2h^2$.

Для доказательства воспользуемся методом площадей. Площадь исходного треугольника можно вычислить двумя способами.

Способ 1: Через катеты.Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2}a^2$

Способ 2: Через гипотенузу и высоту.Площадь треугольника также равна половине произведения основания на высоту. В нашем случае основанием является гипотенуза $c$, а высотой — $h$.Найдем длину гипотенузы $c$ по теореме Пифагора:$c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$$c = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Теперь найдем площадь треугольника через гипотенузу и высоту:$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h = \frac{1}{2} (a\sqrt{2}) h$

Поскольку оба выражения представляют площадь одного и того же треугольника, мы можем их приравнять:$\frac{1}{2}a^2 = \frac{1}{2} a\sqrt{2} h$

Умножим обе части уравнения на 2 и разделим на $a$ (поскольку длина катета $a$ не может быть равна нулю):$a = \sqrt{2} h$

Возведем обе части полученного равенства в квадрат:$a^2 = (\sqrt{2}h)^2$$a^2 = 2h^2$

Так как $a^2 = S_{катет}$ и $h^2 = S_{высота}$, то мы доказали, что:$S_{катет} = 2 \cdot S_{высота}$

Это означает, что площадь квадрата, построенного на катете равнобедренного прямоугольного треугольника, вдвое больше площади квадрата, построенного на высоте, проведённой к гипотенузе.

Ответ: Что и требовалось доказать.