Номер 8, страница 158 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 7. § 3. Теорема Пифагора. Глава 7. Площадь - номер 8, страница 158.

8 Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади трапеции.

Формулировка теоремы

Площадь трапеции равна произведению полусуммы длин её оснований на высоту.

Если `a` и `b` — длины оснований трапеции, а `h` — её высота, то площадь `S` вычисляется по формуле:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

Доказательство

Рассмотрим трапецию ABCD, у которой основания AD и BC параллельны. Обозначим длины оснований как $AD = a$ и $BC = b$. Проведём высоту трапеции `h`, которая является перпендикуляром, опущенным из любой точки одного основания на прямую, содержащую другое основание.

Проведём диагональ AC. Эта диагональ разделяет трапецию ABCD на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Площадь трапеции равна сумме площадей этих двух треугольников:

$S_{ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC}$

1. Рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Его основание — это основание трапеции AD, длина которого равна `a`. Высота этого треугольника, проведённая из вершины C к основанию AD, равна высоте трапеции `h`. Следовательно, площадь треугольника $\triangle ADC$ вычисляется по формуле:

$S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h = \frac{1}{2} a h$

2. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Его основание — это основание трапеции BC, длина которого равна `b`. Высота этого треугольника, проведённая из вершины A к прямой, содержащей основание BC, также равна высоте трапеции `h`, поскольку расстояние между параллельными прямыми AD и BC постоянно. Следовательно, площадь треугольника $\triangle ABC$ вычисляется по формуле:

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h = \frac{1}{2} b h$

3. Теперь найдём площадь трапеции, сложив площади двух треугольников:

$S_{ABCD} = S_{\triangle ADC} + S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} a h + \frac{1}{2} b h$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}h$ за скобки:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2} h (a + b) = \frac{a+b}{2} \cdot h$

Таким образом, мы доказали, что площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту. Теорема доказана.

Ответ: Формула для вычисления площади трапеции: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где `S` — площадь трапеции, `a` и `b` — длины её оснований, `h` — высота.