Номер 5, страница 158 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора. Вопросы для повторения к главе 7 - номер 5, страница 158.

Условие.

5 Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади параллелограмма.

Решение 4.

Решение 11.

Формулировка теоремы

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны (основания) на высоту, проведенную к этой стороне.

Если $a$ — длина стороны параллелограмма, а $h_a$ — длина высоты, опущенной на эту сторону, то площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = a \cdot h_a$

Доказательство

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. Примем сторону $AD$ за основание, ее длина равна $a$. Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на прямую, содержащую сторону $AD$. Длина высоты $BH$ равна $h$. Нам нужно доказать, что площадь параллелограмма $S_{ABCD}$ равна $a \cdot h$.

Проведем также из вершины $C$ высоту $CK$ на ту же прямую $AD$. Рассмотрим четырехугольник $HBCK$. Так как высоты $BH$ и $CK$ перпендикулярны одной и той же прямой $AD$, они параллельны друг другу ($BH \parallel CK$). Стороны $BC$ и $AD$ параллелограмма $ABCD$ также параллельны, следовательно, $BC \parallel HK$. Таким образом, $HBCK$ — параллелограмм. А так как угол $BHK$ прямой (по построению высоты), то $HBCK$ — прямоугольник.

Далее рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$. Они равны по гипотенузе и катету. Действительно, гипотенуза $AB$ равна гипотенузе $DC$ (как противолежащие стороны параллелограмма $ABCD$), а катет $BH$ равен катету $CK$ (как противолежащие стороны прямоугольника $HBCK$).

Из равенства треугольников $\triangle ABH \cong \triangle DCK$ следует и равенство их площадей: $S_{\triangle ABH} = S_{\triangle DCK}$.

Докажем, что площадь параллелограмма $ABCD$ равна площади прямоугольника $HBCK$. Рассмотрим случай, когда угол $A$ острый. Тогда высота $BH$ падает на сторону $AD$, а высота $CK$ — на ее продолжение. Площадь параллелограмма $ABCD$ можно представить как сумму площадей треугольника $\triangle ABH$ и трапеции $HBCD$: $S_{ABCD} = S_{\triangle ABH} + S_{HBCD}$

Площадь прямоугольника $HBCK$ складывается из площадей той же трапеции $HBCD$ и треугольника $\triangle DCK$: $S_{HBCK} = S_{HBCD} + S_{\triangle DCK}$

Так как площади треугольников $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны, то и площади параллелограмма $ABCD$ и прямоугольника $HBCK$ также равны: $S_{ABCD} = S_{HBCK}$.

Площадь прямоугольника $HBCK$ равна произведению его смежных сторон $HK$ и $BH$. $S_{HBCK} = HK \cdot BH = HK \cdot h$. Найдем длину стороны $HK$. В прямоугольнике $HBCK$ противолежащие стороны равны, поэтому $HK = BC$. В параллелограмме $ABCD$ противолежащие стороны также равны, поэтому $BC = AD = a$. Следовательно, $HK = a$.

Таким образом, площадь прямоугольника равна $S_{HBCK} = a \cdot h$. А поскольку $S_{ABCD} = S_{HBCK}$, то и площадь параллелограмма равна $S_{ABCD} = a \cdot h$.

(В случае, если углы $A$ и $D$ тупые, основания высот $H$ и $K$ будут лежать вне отрезка $AD$, но доказательство проводится аналогично путем сложения и вычитания площадей полученных фигур).

Теорема доказана.

Ответ: Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, проведенную к этому основанию, $S = a \cdot h_a$.