Номер 603, страница 158 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Площадь. Параграф 3. Теорема Пифагора. 62. Формула Герона - номер 603, страница 158.

Условие.

603 В комнату необходимо занести мебельный щит. Рабочие решили для этого использовать окно, размеры которого 600 × 600 мм. Мебельный щит имеет размеры 800 × 2000 мм. Смогут ли рабочие это сделать?

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Для решения этой задачи необходимо определить, возможно ли геометрически пронести прямоугольный щит через квадратное окно, учитывая их размеры. Это классическая математическая задача, требующая анализа в трехмерном пространстве.

Дано:

• Размеры окна (квадрат): $600 \times 600$ мм. Обозначим сторону квадрата как $a = 600$ мм.
• Размеры мебельного щита (прямоугольник): $800 \times 2000$ мм. Обозначим ширину как $w = 800$ мм и длину как $l = 2000$ мм.

Анализ:

1. Сразу видно, что ширина щита ($800$ мм) больше стороны окна ($600$ мм). Это означает, что щит невозможно пронести, держа его параллельно плоскости окна.

2. Можно предположить, что щит можно пронести по диагонали окна. Найдем длину диагонали окна по теореме Пифагора:

$d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

$d = 600\sqrt{2} \approx 600 \times 1.414 = 848.4$ мм.

Поскольку ширина щита ($800$ мм) меньше диагонали окна ($848.4$ мм), кажется, что пронести щит возможно. Однако это было бы верно, если бы щит был просто линией шириной $800$ мм. Наличие длины $2000$ мм существенно усложняет задачу.

3. Проблема возможности проноса прямоугольного объекта через прямоугольное отверстие ("задача о доске") является известной в геометрии. Ее решение показывает, что возможность зависит от сложного соотношения между всеми тремя размерами: шириной щита ($w$), длиной щита ($l$) и стороной квадратного окна ($a$).

4. Существует предельная длина ($L_{max}$) для щита заданной ширины ($w$), который можно пронести через квадратное окно со стороной ($a$). Если реальная длина щита ($l$) превышает эту предельную длину, то пронести его невозможно. Эта максимальная длина вычисляется по формуле:

$L_{max} = \frac{a(w^2+a^2)}{w\sqrt{w^2-a^2}}$

Расчет:

Подставим наши значения в эту формулу:

$a = 600$ мм

$w = 800$ мм

$L_{max} = \frac{600(800^2+600^2)}{800\sqrt{800^2-600^2}}$

Сначала вычислим выражения под корнем и в скобках:

$800^2 - 600^2 = 640000 - 360000 = 280000$

$\sqrt{280000} = \sqrt{28 \times 10000} = 100\sqrt{28} = 100\sqrt{4 \times 7} = 100 \times 2\sqrt{7} = 200\sqrt{7}$

$800^2 + 600^2 = 640000 + 360000 = 1000000$

Теперь подставим эти значения обратно в формулу:

$L_{max} = \frac{600 \times 1000000}{800 \times 200\sqrt{7}} = \frac{600000000}{160000\sqrt{7}} = \frac{60000}{16\sqrt{7}} = \frac{3750}{\sqrt{7}}$

Чтобы получить числовое значение, используем приближенное значение $\sqrt{7} \approx 2.646$:

$L_{max} \approx \frac{3750}{2.646} \approx 1417.2$ мм.

Вывод:

Максимальная длина мебельного щита шириной $800$ мм, который можно пронести через окно $600 \times 600$ мм, составляет примерно $1417.2$ мм.

Длина нашего щита равна $2000$ мм.

Сравниваем фактическую длину щита с максимально возможной:

$2000 \text{ мм} > 1417.2 \text{ мм}$

Так как длина мебельного щита превышает максимально допустимую для проноса через данное окно, рабочие не смогут его занести.

Ответ: Нет, рабочие не смогут занести мебельный щит в комнату через это окно.