Страница 158 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

600 Около прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С описана окружность. Найдите радиус этой окружности, если: а) АС = 8 см, ВС = 6 см; б) АС = 18 см, ∠B = 30°.

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, совпадает с серединой его гипотенузы. Следовательно, радиус $R$ этой окружности равен половине длины гипотенузы. Для треугольника $ABC$ с прямым углом $C$, гипотенузой является сторона $AB$.

$R = \frac{AB}{2}$

а)

По условию, в прямоугольном треугольнике $ABC$ известны длины катетов: $AC = 8$ см и $BC = 6$ см. Найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора:

$AB^2 = AC^2 + BC^2$

$AB^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$

$AB = \sqrt{100} = 10$ см.

Теперь вычислим радиус описанной окружности:

$R = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Ответ: 5 см.

б)

По условию, в прямоугольном треугольнике $ABC$ известны длина катета $AC = 18$ см и величина противолежащего ему угла $\angle B = 30°$.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению длины противолежащего катета к длине гипотенузы:

$\sin(\angle B) = \frac{AC}{AB}$

Из этой формулы выразим гипотенузу $AB$:

$AB = \frac{AC}{\sin(\angle B)}$

Подставим известные значения, зная, что $\sin(30°) = \frac{1}{2}$:

$AB = \frac{18}{\sin(30°)} = \frac{18}{1/2} = 18 \cdot 2 = 36$ см.

Теперь вычислим радиус описанной окружности:

$R = \frac{AB}{2} = \frac{36}{2} = 18$ см.

Ответ: 18 см.

601 Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 10 см.

Для решения задачи воспользуемся формулой, связывающей сторону равностороннего треугольника и радиус описанной около него окружности.

Пусть $a$ – искомая сторона равностороннего треугольника, а $R$ – радиус описанной окружности. По условию задачи, $R = 10$ см.

Связь между стороной равностороннего треугольника и радиусом описанной окружности выражается формулой:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Чтобы найти сторону $a$, выразим ее из этой формулы:

$a = R \cdot \sqrt{3}$

Теперь подставим известное значение радиуса $R = 10$ см в полученную формулу:

$a = 10 \cdot \sqrt{3}$

Таким образом, длина стороны равностороннего треугольника составляет $10\sqrt{3}$ см.

Ответ: $10\sqrt{3}$ см.

602 Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°, боковая сторона треугольника равна 8 см. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

Для решения этой задачи воспользуемся расширенной теоремой синусов. Эта теорема гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной около этого треугольника окружности.

Формула теоремы синусов:

$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R $

где $a$, $b$, $c$ — стороны треугольника, $A$, $B$, $C$ — противолежащие им углы, а $R$ — радиус описанной окружности. Соответственно, $2R$ — это диаметр описанной окружности.

По условию, нам дан равнобедренный треугольник. Угол, противолежащий основанию, равен $120^\circ$. Боковая сторона равна 8 см.

Пусть боковая сторона $a = 8$ см. Нам нужно найти угол $A$, который лежит напротив этой стороны.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма всех углов треугольника составляет $180^\circ$. Углы при основании можно найти по формуле:

$ \angle A = \angle C = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ $

Итак, угол $A$, противолежащий боковой стороне $a$, равен $30^\circ$.

Теперь мы можем применить теорему синусов, чтобы найти диаметр ($D = 2R$):

$ D = 2R = \frac{a}{\sin A} $

Подставим известные значения: $a = 8$ см и $\angle A = 30^\circ$.

$ D = \frac{8}{\sin 30^\circ} $

Мы знаем, что $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.

$ D = \frac{8}{\frac{1}{2}} = 8 \cdot 2 = 16 $

Таким образом, диаметр окружности, описанной около этого треугольника, равен 16 см.

Ответ: 16 см.

603 В комнату необходимо занести мебельный щит. Рабочие решили для этого использовать окно, размеры которого 600 × 600 мм. Мебельный щит имеет размеры 800 × 2000 мм. Смогут ли рабочие это сделать?

Для решения этой задачи необходимо определить, возможно ли геометрически пронести прямоугольный щит через квадратное окно, учитывая их размеры. Это классическая математическая задача, требующая анализа в трехмерном пространстве.

Дано:

• Размеры окна (квадрат): $600 \times 600$ мм. Обозначим сторону квадрата как $a = 600$ мм.
• Размеры мебельного щита (прямоугольник): $800 \times 2000$ мм. Обозначим ширину как $w = 800$ мм и длину как $l = 2000$ мм.

Анализ:

1. Сразу видно, что ширина щита ($800$ мм) больше стороны окна ($600$ мм). Это означает, что щит невозможно пронести, держа его параллельно плоскости окна.

2. Можно предположить, что щит можно пронести по диагонали окна. Найдем длину диагонали окна по теореме Пифагора:

$d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

$d = 600\sqrt{2} \approx 600 \times 1.414 = 848.4$ мм.

Поскольку ширина щита ($800$ мм) меньше диагонали окна ($848.4$ мм), кажется, что пронести щит возможно. Однако это было бы верно, если бы щит был просто линией шириной $800$ мм. Наличие длины $2000$ мм существенно усложняет задачу.

3. Проблема возможности проноса прямоугольного объекта через прямоугольное отверстие ("задача о доске") является известной в геометрии. Ее решение показывает, что возможность зависит от сложного соотношения между всеми тремя размерами: шириной щита ($w$), длиной щита ($l$) и стороной квадратного окна ($a$).

4. Существует предельная длина ($L_{max}$) для щита заданной ширины ($w$), который можно пронести через квадратное окно со стороной ($a$). Если реальная длина щита ($l$) превышает эту предельную длину, то пронести его невозможно. Эта максимальная длина вычисляется по формуле:

$L_{max} = \frac{a(w^2+a^2)}{w\sqrt{w^2-a^2}}$

Расчет:

Подставим наши значения в эту формулу:

$a = 600$ мм

$w = 800$ мм

$L_{max} = \frac{600(800^2+600^2)}{800\sqrt{800^2-600^2}}$

Сначала вычислим выражения под корнем и в скобках:

$800^2 - 600^2 = 640000 - 360000 = 280000$

$\sqrt{280000} = \sqrt{28 \times 10000} = 100\sqrt{28} = 100\sqrt{4 \times 7} = 100 \times 2\sqrt{7} = 200\sqrt{7}$

$800^2 + 600^2 = 640000 + 360000 = 1000000$

Теперь подставим эти значения обратно в формулу:

$L_{max} = \frac{600 \times 1000000}{800 \times 200\sqrt{7}} = \frac{600000000}{160000\sqrt{7}} = \frac{60000}{16\sqrt{7}} = \frac{3750}{\sqrt{7}}$

Чтобы получить числовое значение, используем приближенное значение $\sqrt{7} \approx 2.646$:

$L_{max} \approx \frac{3750}{2.646} \approx 1417.2$ мм.

Вывод:

Максимальная длина мебельного щита шириной $800$ мм, который можно пронести через окно $600 \times 600$ мм, составляет примерно $1417.2$ мм.

Длина нашего щита равна $2000$ мм.

Сравниваем фактическую длину щита с максимально возможной:

$2000 \text{ мм} > 1417.2 \text{ мм}$

Так как длина мебельного щита превышает максимально допустимую для проноса через данное окно, рабочие не смогут его занести.

Ответ: Нет, рабочие не смогут занести мебельный щит в комнату через это окно.

604 Семья купила LED-телевизор с подставкой глубиной 25 см и соотношением сторон 16 : 9. Диагональ телевизора — 31,5 дюйм (1 дюйм ≈ 2,54 см). Получится ли поставить этот телевизор в квадратную нишу шириной 74 см и глубиной 35 см?

Чтобы определить, поместится ли телевизор в нишу, необходимо сравнить их габариты: ширину, высоту и глубину.

1. Сравнение по глубине.
Глубина телевизора с подставкой составляет 25 см. Глубина ниши — 35 см.
Поскольку $25 \text{ см} < 35 \text{ см}$, по глубине телевизор помещается.

2. Расчет ширины и высоты телевизора.
Сначала переведем диагональ телевизора из дюймов в сантиметры:
$d = 31,5 \text{ дюймов} \times 2,54 \text{ см/дюйм} = 80,01 \text{ см}$.
Соотношение сторон экрана телевизора составляет 16:9. Это означает, что его ширина $w$ и высота $h$ связаны как $w = 16x$ и $h = 9x$, где $x$ — некоторый коэффициент пропорциональности.
Ширина, высота и диагональ экрана образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора: $w^2 + h^2 = d^2$.
Подставим выражения для ширины и высоты в формулу:
$(16x)^2 + (9x)^2 = (80,01)^2$
$256x^2 + 81x^2 = 6401,6001$
$337x^2 = 6401,6001$
$x^2 = \frac{6401,6001}{337} \approx 18,9958$
$x = \sqrt{18,9958} \approx 4,358 \text{ см}$
Теперь можем найти ширину и высоту телевизора:
Ширина: $w = 16x \approx 16 \times 4,358 \approx 69,73 \text{ см}$.
Высота: $h = 9x \approx 9 \times 4,358 \approx 39,22 \text{ см}$.

3. Сравнение ширины и высоты с размерами ниши.
Ниша квадратная с шириной 74 см, следовательно, ее высота также равна 74 см.
Сравним ширину телевизора с шириной ниши: $69,73 \text{ см} < 74 \text{ см}$. Телевизор проходит по ширине.
Сравним высоту телевизора с высотой ниши: $39,22 \text{ см} < 74 \text{ см}$. Телевизор проходит по высоте.

Так как телевизор помещается в нишу по всем трем измерениям (глубине, ширине и высоте), его можно туда поставить.

Ответ: да, получится.

1 Расскажите, как измеряются площади многоугольников.

Измерение площади многоугольника — это нахождение численной характеристики, которая показывает размер части плоскости, ограниченной этим многоугольником. Площадь измеряется в квадратных единицах (например, см?, м?). За единицу измерения площади принимают площадь квадрата, сторона которого равна единице длины.

Основные свойства площади:

• Площадь любой фигуры является неотрицательным числом.
• Равные многоугольники имеют равные площади.
• Если многоугольник разделен на несколько меньших многоугольников, его общая площадь равна сумме площадей этих частей (свойство аддитивности).

Существует несколько основных подходов к измерению площади многоугольников.

1. Метод разбиения (триангуляция)

Это универсальный и один из самых главных методов. Суть его в том, что любой простой многоугольник (то есть многоугольник без самопересечений) можно разбить на конечное число неперекрывающихся треугольников. Общая площадь многоугольника в этом случае будет равна сумме площадей всех треугольников, на которые он разбит.

Например, любой выпуклый n-угольник можно разделить на $n-2$ треугольника, проведя все диагонали из одной вершины. Зная, как вычислить площадь одного треугольника, можно найти и площадь всего многоугольника.

Если многоугольник $M$ разбит на треугольники $T_1, T_2, ..., T_k$, то его площадь $S(M)$ вычисляется как сумма их площадей:
$S(M) = S(T_1) + S(T_2) + ... + S(T_k) = \sum_{i=1}^{k} S(T_i)$

Ответ: Площадь произвольного многоугольника можно измерить, разбив его на простые фигуры, чаще всего треугольники, и просуммировав их площади.

2. Использование готовых формул для стандартных многоугольников

Для часто встречающихся типов многоугольников (правильных и неправильных) существуют специальные формулы, позволяющие вычислить их площадь по известным параметрам (сторонам, высотам, диагоналям, углам).

• Прямоугольник: $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ — длины смежных сторон.
• Квадрат: $S = a^2$, где $a$ — длина стороны.
• Параллелограмм: $S = a \cdot h_a$, где $a$ — сторона, а $h_a$ — высота, проведенная к ней. Или $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$, где $a, b$ — смежные стороны, а $\alpha$ — угол между ними.
• Треугольник:
  • $S = \frac{1}{2} a \cdot h_a$ (через основание и высоту).
  • Формула Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $a, b, c$ — стороны, а $p$ — полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2}$.
  • $S = \frac{1}{2} ab \sin(\gamma)$ (через две стороны и угол между ними).
• Трапеция: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, $h$ — высота.
• Ромб: $S = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали.
• Правильный n-угольник: $S = \frac{1}{2} P \cdot r$, где $P$ — периметр, а $r$ — апофема (радиус вписанной окружности).

Ответ: Для стандартных многоугольников площадь измеряется путем подстановки известных линейных или угловых размеров в соответствующую математическую формулу.

3. Координатный метод (Формула площади Гаусса)

Этот мощный метод применяется, когда известны координаты вершин многоугольника $(x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_n, y_n)$ в декартовой системе координат. Формула также известна как "формула шнурков" (shoelace formula) из-за наглядного способа ее вычисления.

Площадь вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2} |(x_1y_2 + x_2y_3 + ... + x_ny_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + ... + y_nx_1)|$

Или в более компактной форме через сумму:

$S = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) \right|$, где $(x_{n+1}, y_{n+1})$ считается равным $(x_1, y_1)$.

Ответ: Если многоугольник задан координатами своих вершин на плоскости, его площадь можно вычислить напрямую с помощью формулы площади Гаусса.

4. Теорема Пика

Этот метод подходит для многоугольников, вершины которых расположены в узлах целочисленной решетки (например, на клетчатой бумаге).

Формула Пика элегантно связывает площадь с количеством узлов решетки внутри и на границе многоугольника:

$S = I + \frac{B}{2} - 1$

Здесь:

• $I$ — количество целочисленных точек, находящихся строго внутри многоугольника.
• $B$ — количество целочисленных точек, лежащих на границе многоугольника (на сторонах и в вершинах).

Площадь $S$ измеряется в единицах, равных площади одной клетки решетки.

Ответ: Для многоугольника на клетчатой бумаге площадь можно найти, посчитав количество узлов сетки внутри и на границе фигуры и применив теорему Пика.

2 Сформулируйте основные свойства площадей многоугольников.

Основные свойства площадей многоугольников, также известные как аксиомы площади, следующие:

1. Положительность
Площадь любого многоугольника является положительным числом. Это означает, что для любого многоугольника $F$ его площадь, обозначаемая как $S(F)$, всегда больше нуля: $S(F) > 0$.

2. Инвариантность при конгруэнтности
Равные (конгруэнтные) многоугольники имеют равные площади. Если многоугольник $F_1$ равен многоугольнику $F_2$, то их площади также равны. Математически это выражается так: если $F_1 \cong F_2$, то $S(F_1) = S(F_2)$. Это свойство означает, что площадь не зависит от положения фигуры на плоскости.

3. Аддитивность
Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, которые не имеют общих внутренних точек (то есть не перекрываются), то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. Например, если многоугольник $F$ разбит на две части $F_1$ и $F_2$ без общих внутренних точек, то площадь всего многоугольника равна сумме площадей его частей: $S(F) = S(F_1) + S(F_2)$.

4. Нормировка (свойство единичного квадрата)
Площадь квадрата, сторона которого равна единице измерения длины, принимается за единицу измерения площади. Такой квадрат называется единичным. Это свойство устанавливает эталон, с которым сравниваются площади других фигур. Если сторона квадрата $a=1$ единица длины, то его площадь $S=1$ квадратная единица.

Ответ: Основные свойства площадей многоугольников: 1) площадь любого многоугольника — положительная величина; 2) равные многоугольники имеют равные площади; 3) если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, не имеющих общих внутренних точек, его площадь равна сумме площадей этих частей; 4) площадь квадрата со стороной, равной единице длины, равна единице.

3 Какие многоугольники называются равновеликими и какие равносоставленными?

Какие многоугольники называются равновеликими
Два многоугольника называются равновеликими, если их площади равны.
Это означает, что если у нас есть два многоугольника, $P_1$ и $P_2$, и их площади обозначаются как $S(P_1)$ и $S(P_2)$ соответственно, то они равновелики, если выполняется равенство: $S(P_1) = S(P_2)$.
При этом форма многоугольников, количество их сторон и углов могут быть совершенно разными. Важно только равенство их площадей.
Например, квадрат со стороной $a=3$ см и прямоугольный треугольник с катетами $b=6$ см и $c=3$ см являются равновеликими фигурами, так как их площади равны:
Площадь квадрата: $S_{квадрата} = a^2 = 3^2 = 9 \text{ см}^2$.
Площадь треугольника: $S_{треугольника} = \frac{1}{2}bc = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 = 9 \text{ см}^2$.
Ответ: Равновеликими называются многоугольники, которые имеют равные площади.

Какие многоугольники называются равносоставленными
Два многоугольника называются равносоставленными, если один из них можно разрезать на конечное число многоугольников, из которых можно составить (сложить) второй многоугольник.
Это можно представить как геометрическую головоломку: если многоугольник $P_1$ можно «перекроить» в многоугольник $P_2$ путем разрезания на части и их перестановки без наложения друг на друга и без зазоров, то эти многоугольники равносоставлены.
Из определения следует, что любые два равносоставленных многоугольника являются также и равновеликими. Это логично, так как площадь всей фигуры равна сумме площадей ее частей, а набор частей у равносоставленных фигур один и тот же.
В геометрии существует важная теорема Бойяи-Гервина, которая утверждает, что верно и обратное: любые два равновеликих многоугольника являются равносоставленными. Таким образом, для многоугольников на плоскости понятия «равновеликий» и «равносоставленный» являются эквивалентными.
Ответ: Равносоставленными называются многоугольники, если один из них можно разрезать на конечное число частей, из которых можно сложить второй.

4 Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади прямоугольника.

Формулировка теоремы

Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон.

Доказательство теоремы

Пусть дан прямоугольник со сторонами $a$ и $b$. Обозначим его площадь как $S$. Требуется доказать, что $S = a \cdot b$.

Для доказательства воспользуемся методом достраивания. Этот метод основан на аксиомах площадей:
1. Равные фигуры имеют равные площади.
2. Если фигура составлена из нескольких фигур, то ее площадь равна сумме площадей этих фигур.
3. Площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице. Из этого следует, что площадь квадрата со стороной $x$ равна $x^2$.

Достроим наш прямоугольник до квадрата со стороной $(a + b)$.

Площадь этого большого квадрата, согласно свойству 3, равна $S_{квадрата} = (a+b)^2$.

С другой стороны, этот большой квадрат можно разбить на четыре части:

• Квадрат со стороной $a$. Его площадь $S_1 = a^2$.
• Квадрат со стороной $b$. Его площадь $S_2 = b^2$.
• Два равных прямоугольника со сторонами $a$ и $b$. Площадь каждого из них равна $S$.

Согласно свойству 2, площадь большого квадрата равна сумме площадей составляющих его частей:

$S_{квадрата} = S_1 + S_2 + S + S$

Подставим выражения для площадей:

$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2S$

Теперь раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата суммы:

$a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + b^2 + 2S$

Вычтем из обеих частей уравнения $a^2$ и $b^2$:

$2ab = 2S$

Разделим обе части равенства на 2:

$S = a \cdot b$

Теорема доказана.

Ответ: Теорема о вычислении площади прямоугольника утверждает, что площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Формула для вычисления площади: $S = a \cdot b$, где $S$ — площадь, а $a$ и $b$ — длины смежных сторон прямоугольника.

5 Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади параллелограмма.

Формулировка теоремы

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны (основания) на высоту, проведенную к этой стороне.

Если $a$ — длина стороны параллелограмма, а $h_a$ — длина высоты, опущенной на эту сторону, то площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = a \cdot h_a$

Доказательство

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. Примем сторону $AD$ за основание, ее длина равна $a$. Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на прямую, содержащую сторону $AD$. Длина высоты $BH$ равна $h$. Нам нужно доказать, что площадь параллелограмма $S_{ABCD}$ равна $a \cdot h$.

Проведем также из вершины $C$ высоту $CK$ на ту же прямую $AD$. Рассмотрим четырехугольник $HBCK$. Так как высоты $BH$ и $CK$ перпендикулярны одной и той же прямой $AD$, они параллельны друг другу ($BH \parallel CK$). Стороны $BC$ и $AD$ параллелограмма $ABCD$ также параллельны, следовательно, $BC \parallel HK$. Таким образом, $HBCK$ — параллелограмм. А так как угол $BHK$ прямой (по построению высоты), то $HBCK$ — прямоугольник.

Далее рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$. Они равны по гипотенузе и катету. Действительно, гипотенуза $AB$ равна гипотенузе $DC$ (как противолежащие стороны параллелограмма $ABCD$), а катет $BH$ равен катету $CK$ (как противолежащие стороны прямоугольника $HBCK$).

Из равенства треугольников $\triangle ABH \cong \triangle DCK$ следует и равенство их площадей: $S_{\triangle ABH} = S_{\triangle DCK}$.

Докажем, что площадь параллелограмма $ABCD$ равна площади прямоугольника $HBCK$. Рассмотрим случай, когда угол $A$ острый. Тогда высота $BH$ падает на сторону $AD$, а высота $CK$ — на ее продолжение. Площадь параллелограмма $ABCD$ можно представить как сумму площадей треугольника $\triangle ABH$ и трапеции $HBCD$: $S_{ABCD} = S_{\triangle ABH} + S_{HBCD}$

Площадь прямоугольника $HBCK$ складывается из площадей той же трапеции $HBCD$ и треугольника $\triangle DCK$: $S_{HBCK} = S_{HBCD} + S_{\triangle DCK}$

Так как площади треугольников $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны, то и площади параллелограмма $ABCD$ и прямоугольника $HBCK$ также равны: $S_{ABCD} = S_{HBCK}$.

Площадь прямоугольника $HBCK$ равна произведению его смежных сторон $HK$ и $BH$. $S_{HBCK} = HK \cdot BH = HK \cdot h$. Найдем длину стороны $HK$. В прямоугольнике $HBCK$ противолежащие стороны равны, поэтому $HK = BC$. В параллелограмме $ABCD$ противолежащие стороны также равны, поэтому $BC = AD = a$. Следовательно, $HK = a$.

Таким образом, площадь прямоугольника равна $S_{HBCK} = a \cdot h$. А поскольку $S_{ABCD} = S_{HBCK}$, то и площадь параллелограмма равна $S_{ABCD} = a \cdot h$.

(В случае, если углы $A$ и $D$ тупые, основания высот $H$ и $K$ будут лежать вне отрезка $AD$, но доказательство проводится аналогично путем сложения и вычитания площадей полученных фигур).

Теорема доказана.

Ответ: Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, проведенную к этому основанию, $S = a \cdot h_a$.

6 Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади треугольника. Как вычислить площадь прямоугольного треугольника по его катетам?

Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади треугольника.

Теорема: Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию.

Если $S$ — площадь треугольника, $a$ — длина одной из его сторон (основания), а $h_a$ — длина высоты, проведенной к этой стороне, то формула площади имеет вид: $$ S = \frac{1}{2} a h_a $$

Доказательство:

Рассмотрим треугольник $ABC$. Примем сторону $AC$ за основание и обозначим ее длину как $a$. Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ к прямой $AC$ и обозначим ее длину как $h$.

Достроим треугольник $ABC$ до параллелограмма $ABDC$, проведя через вершину $B$ прямую, параллельную $AC$, и через вершину $C$ — прямую, параллельную стороне $AB$. Пусть $D$ — точка пересечения этих прямых.

Четырехугольник $ABDC$ является параллелограммом по построению. Диагональ $BC$ разделяет его на два равных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle DCB$. Их равенство можно доказать, например, по трем сторонам: $BC$ — общая сторона, $AB = DC$ и $AC = DB$ как противолежащие стороны параллелограмма.

Площадь параллелограмма вычисляется как произведение длины его основания на высоту. Для параллелограмма $ABDC$ основанием является сторона $AC$ длиной $a$, а высотой — отрезок $BH$ длиной $h$. Таким образом, площадь параллелограмма равна: $$ S_{ABDC} = AC \cdot BH = a \cdot h $$

Так как параллелограмм состоит из двух равных треугольников, площадь каждого из них равна половине площади параллелограмма. Следовательно, площадь треугольника $ABC$ составляет: $$ S_{ABC} = \frac{1}{2} S_{ABDC} = \frac{1}{2} a h $$ Теорема доказана.

Ответ: Площадь треугольника равна половине произведения длины его стороны на длину проведенной к ней высоты: $S = \frac{1}{2} a h$.

Как вычислить площадь прямоугольного треугольника по его катетам?

В прямоугольном треугольнике две стороны, образующие прямой угол, называются катетами. Пусть их длины равны $a$ и $b$.

Для вычисления площади можно использовать общую теорему о площади треугольника. Если принять один из катетов, например $a$, за основание, то второй катет, $b$, будет высотой, так как он перпендикулярен основанию $a$.

Подставим значения основания ($a$) и высоты ($b$) в общую формулу площади треугольника $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$: $$ S = \frac{1}{2} a \cdot b $$

Таким образом, площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов.

Ответ: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Если длины катетов равны $a$ и $b$, то площадь $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} ab$.

7 Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей двух треугольников, имеющих по равному углу.

Формулировка теоремы

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то отношение площадей этих треугольников равно отношению произведений сторон, заключающих эти равные углы.

Доказательство

Пусть даны два треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, у которых по условию есть равный угол: $\angle A = \angle A_1$. Обозначим их площади как $S$ и $S_1$ соответственно.

Как известно, площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Запишем формулу площади для каждого треугольника:

$S = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)$

$S_1 = \frac{1}{2} A_1B_1 \cdot A_1C_1 \cdot \sin(\angle A_1)$

Теперь найдем отношение площадей $S$ и $S_1$, разделив одно выражение на другое:

$\frac{S}{S_1} = \frac{\frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)}{\frac{1}{2} A_1B_1 \cdot A_1C_1 \cdot \sin(\angle A_1)}$

По условию теоремы $\angle A = \angle A_1$, а значит, и синусы этих углов равны: $\sin(\angle A) = \sin(\angle A_1)$.

Мы можем сократить дробь на общий множитель $\frac{1}{2}$ и на равные синусы $\sin(\angle A)$ и $\sin(\angle A_1)$.

После сокращения получаем:

$\frac{S}{S_1} = \frac{AB \cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Отношение площадей двух треугольников, имеющих по равному углу, равно отношению произведений сторон, заключающих эти равные углы: $\frac{S}{S_1} = \frac{AB \cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1}$.

8 Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади трапеции.

Формулировка теоремы

Площадь трапеции равна произведению полусуммы длин её оснований на высоту.

Если `a` и `b` — длины оснований трапеции, а `h` — её высота, то площадь `S` вычисляется по формуле:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

Доказательство

Рассмотрим трапецию ABCD, у которой основания AD и BC параллельны. Обозначим длины оснований как $AD = a$ и $BC = b$. Проведём высоту трапеции `h`, которая является перпендикуляром, опущенным из любой точки одного основания на прямую, содержащую другое основание.

Проведём диагональ AC. Эта диагональ разделяет трапецию ABCD на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Площадь трапеции равна сумме площадей этих двух треугольников:

$S_{ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC}$

1. Рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Его основание — это основание трапеции AD, длина которого равна `a`. Высота этого треугольника, проведённая из вершины C к основанию AD, равна высоте трапеции `h`. Следовательно, площадь треугольника $\triangle ADC$ вычисляется по формуле:

$S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h = \frac{1}{2} a h$

2. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Его основание — это основание трапеции BC, длина которого равна `b`. Высота этого треугольника, проведённая из вершины A к прямой, содержащей основание BC, также равна высоте трапеции `h`, поскольку расстояние между параллельными прямыми AD и BC постоянно. Следовательно, площадь треугольника $\triangle ABC$ вычисляется по формуле:

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h = \frac{1}{2} b h$

3. Теперь найдём площадь трапеции, сложив площади двух треугольников:

$S_{ABCD} = S_{\triangle ADC} + S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} a h + \frac{1}{2} b h$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}h$ за скобки:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2} h (a + b) = \frac{a+b}{2} \cdot h$

Таким образом, мы доказали, что площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту. Теорема доказана.

Ответ: Формула для вычисления площади трапеции: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где `S` — площадь трапеции, `a` и `b` — длины её оснований, `h` — высота.

9 Сформулируйте и докажите теорему Пифагора.

Формулировка

Теорема Пифагора устанавливает соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Она гласит, что в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе (стороне, лежащей напротив прямого угла), равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах (сторонах, прилежащих к прямому углу).

Алгебраически это выражается следующей формулой:
$a^2 + b^2 = c^2$
где $a$ и $b$ — длины катетов, а $c$ — длина гипотенузы.

Ответ: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов ($a^2 + b^2 = c^2$).

Доказательство

Приведём одно из классических доказательств теоремы, основанное на подобии треугольников.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Пусть длины катетов $BC$ и $AC$ равны $a$ и $b$ соответственно, а длина гипотенузы $AB$ равна $c$.

2. Проведём высоту $CH$ из вершины прямого угла $C$ на гипотенузу $AB$. Точка $H$ разделит гипотенузу на два отрезка: $AH$ и $HB$. Обозначим их длины $b_c$ и $a_c$ соответственно. Таким образом, $c = a_c + b_c$.

3. Высота $CH$ делит исходный треугольник на два новых прямоугольных треугольника: $\triangle ACH$ и $\triangle CBH$.

4. Треугольник $\triangle ACH$ подобен исходному треугольнику $\triangle ABC$. У них общий острый угол $\angle A$ и оба они имеют по прямому углу ($\angle ACB = \angle AHC = 90^\circ$). Из подобия треугольников следует соотношение их сторон:
$\frac{AC}{AB} = \frac{AH}{AC} \implies \frac{b}{c} = \frac{b_c}{b}$
Отсюда получаем первое равенство: $b^2 = c \cdot b_c$.

5. Аналогично, треугольник $\triangle CBH$ подобен исходному треугольнику $\triangle ABC$. У них общий острый угол $\angle B$ и оба они имеют по прямому углу ($\angle ACB = \angle CHB = 90^\circ$). Из подобия следует соотношение их сторон:
$\frac{BC}{AB} = \frac{BH}{BC} \implies \frac{a}{c} = \frac{a_c}{a}$
Отсюда получаем второе равенство: $a^2 = c \cdot a_c$.

6. Сложим полученные равенства почленно:
$a^2 + b^2 = c \cdot a_c + c \cdot b_c$

7. Вынесем общий множитель $c$ в правой части:
$a^2 + b^2 = c(a_c + b_c)$

8. Поскольку $a_c + b_c = c$, подставим это выражение в уравнение:
$a^2 + b^2 = c \cdot c$
$a^2 + b^2 = c^2$
Теорема доказана.

Ответ: Доказательство проводится через проведение высоты к гипотенузе, что создает два треугольника, подобных исходному. Из пропорциональности сторон подобных треугольников следуют равенства $a^2 = c \cdot a_c$ и $b^2 = c \cdot b_c$. Сложение этих равенств приводит к формуле $a^2 + b^2 = c^2$, что и доказывает теорему.

10 Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Пифагора.

Формулировка теоремы, обратной теореме Пифагора:

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то такой треугольник является прямоугольным. Прямым является угол, противолежащий первой стороне.

Доказательство:

Пусть нам дан треугольник $ABC$ со сторонами $a$, $b$ и $c$, где $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$. По условию теоремы, для этих сторон выполняется соотношение:

$c^2 = a^2 + b^2$

Нам необходимо доказать, что угол $C$, лежащий напротив стороны $c$, является прямым, то есть $\angle C = 90^\circ$.

Для доказательства построим вспомогательный треугольник $A_1B_1C_1$, у которого угол $\angle C_1$ — прямой ($\angle C_1 = 90^\circ$), а катеты равны соответствующим сторонам (катетам предполагаемого прямоугольного треугольника $ABC$): $A_1C_1 = b$ и $B_1C_1 = a$.

Поскольку треугольник $A_1B_1C_1$ является прямоугольным по построению, для него справедлива прямая теорема Пифагора. Согласно ей, квадрат гипотенузы $A_1B_1$ равен сумме квадратов его катетов:

$A_1B_1^2 = A_1C_1^2 + B_1C_1^2$

Подставим длины катетов $A_1C_1 = b$ и $B_1C_1 = a$:

$A_1B_1^2 = b^2 + a^2$

Теперь сравним полученное выражение с условием, данным для треугольника $ABC$ ($c^2 = a^2 + b^2$). Мы видим, что правые части обоих равенств совпадают:

$c^2 = a^2 + b^2$

$A_1B_1^2 = a^2 + b^2$

Отсюда следует, что $c^2 = A_1B_1^2$. Так как длины сторон — это положительные числа, то мы можем заключить, что $c = A_1B_1$.

Теперь рассмотрим два треугольника: исходный $ABC$ и построенный $A_1B_1C_1$. Сравним их стороны:

• $BC = B_1C_1 = a$ (по построению)
• $AC = A_1C_1 = b$ (по построению)
• $AB = A_1B_1 = c$ (как мы только что доказали)

Таким образом, три стороны треугольника $ABC$ соответственно равны трем сторонам треугольника $A_1B_1C_1$. По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), эти треугольники равны: $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных углов. Угол $C$ в треугольнике $ABC$ лежит против стороны $AB$, а угол $C_1$ в треугольнике $A_1B_1C_1$ лежит против стороны $A_1B_1$. Поскольку $AB=A_1B_1$, то и противолежащие им углы равны: $\angle C = \angle C_1$.

По построению, угол $C_1$ был прямым: $\angle C_1 = 90^\circ$. Следовательно, и угол $C$ тоже равен $90^\circ$. Это означает, что треугольник $ABC$ является прямоугольным. Теорема доказана.

Ответ: Если в треугольнике со сторонами $a, b, c$ выполняется равенство $c^2 = a^2 + b^2$, то этот треугольник является прямоугольным, и прямой угол в нем — это угол, лежащий напротив стороны $c$. Доказательство основано на построении вспомогательного прямоугольного треугольника и использовании прямой теоремы Пифагора и признака равенства треугольников по трем сторонам.

11 Какие треугольники называются пифагоровыми? Приведите примеры пифагоровых треугольников.

Какие треугольники называются пифагоровыми?
Пифагоровым треугольником называется прямоугольный треугольник, у которого длины всех трёх сторон являются натуральными (целыми положительными) числами. Длины сторон такого треугольника, обозначаемые как $a, b, c$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза, образуют так называемую пифагорову тройку. Эти числа удовлетворяют теореме Пифагора:
$a^2 + b^2 = c^2$
Ответ: Пифагоров треугольник — это прямоугольный треугольник, длины сторон которого выражаются целыми числами.

Приведите примеры пифагоровых треугольников.
Простейшим и наиболее известным примером является "египетский" треугольник со сторонами 3, 4, 5. Для него выполняется равенство: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$.
Другие распространённые примеры пифагоровых треугольников (со сторонами, образующими пифагоровы тройки):
- Треугольник со сторонами 5, 12, 13. Проверка: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$.
- Треугольник со сторонами 8, 15, 17. Проверка: $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$.
- Треугольник со сторонами 7, 24, 25. Проверка: $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$.
Стоит отметить, что любой треугольник, стороны которого пропорциональны некоторой пифагоровой тройке, также является пифагоровым. Например, треугольники со сторонами (6, 8, 10) или (9, 12, 15) являются пифагоровыми, так как они подобны треугольнику со сторонами (3, 4, 5).
Ответ: Примерами пифагоровых треугольников являются треугольники со сторонами (3, 4, 5), (5, 12, 13) и (8, 15, 17).

12 Какая формула площади треугольника называется формулой Герона? Выведите эту формулу.

Какая формула площади треугольника называется формулой Герона?

Формулой Герона называется формула для вычисления площади произвольного треугольника, если известны длины всех трёх его сторон. Пусть $a$, $b$ и $c$ — длины сторон треугольника. Тогда его площадь $S$ можно вычислить по формуле:

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

В этой формуле $p$ — это полупериметр треугольника, который находится как половина суммы длин всех сторон:

$$p = \frac{a+b+c}{2}$$

Ответ: Формула Герона для площади треугольника со сторонами $a, b, c$ и полупериметром $p$ имеет вид $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$.

Выведите эту формулу.

Вывод формулы Герона можно произвести, отталкиваясь от формулы площади треугольника через синус угла между двумя сторонами и теоремы косинусов.

1. Возьмём за основу формулу площади треугольника: $$S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$$ где $a$ и $b$ — длины двух сторон, а $\gamma$ — угол, заключённый между ними.

2. Применим теорему косинусов к этому же треугольнику, чтобы связать стороны с косинусом угла $\gamma$: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$$ Из этой формулы выразим $\cos\gamma$: $$\cos\gamma = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$$

3. Теперь найдём $\sin\gamma$ через $\cos\gamma$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\gamma + \cos^2\gamma = 1$. Так как $\gamma$ является углом в треугольнике, его значение находится в интервале $(0, \pi)$, а значит $\sin\gamma$ всегда положителен. $$\sin\gamma = \sqrt{1 - \cos^2\gamma}$$ Подставим сюда выражение для $\cos\gamma$, полученное на предыдущем шаге: $$\sin\gamma = \sqrt{1 - \left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)^2}$$

4. Выполним алгебраические преобразования выражения под корнем. Для начала применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$: $$\sin\gamma = \sqrt{\left(1 - \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)\left(1 + \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)}$$ Приведём выражения в скобках к общему знаменателю: $$\sin\gamma = \sqrt{\left(\frac{2ab - (a^2+b^2-c^2)}{2ab}\right)\left(\frac{2ab + a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)}$$ Раскроем скобки в числителях: $$\sin\gamma = \sqrt{\frac{2ab - a^2 - b^2 + c^2}{2ab} \cdot \frac{a^2 + 2ab + b^2 - c^2}{2ab}}$$ Сгруппируем слагаемые для выделения формул квадрата суммы и разности: $$\sin\gamma = \sqrt{\frac{c^2 - (a^2 - 2ab + b^2)}{(2ab)^2} \cdot \frac{(a^2 + 2ab + b^2) - c^2}{1}}$$ $$\sin\gamma = \sqrt{\frac{c^2 - (a-b)^2}{(2ab)^2} \cdot \frac{(a+b)^2 - c^2}{1}}$$ Ещё раз применим формулу разности квадратов к числителям: $$\sin\gamma = \frac{1}{2ab}\sqrt{(c - (a-b))(c + (a-b))((a+b) - c)((a+b) + c)}$$ $$\sin\gamma = \frac{1}{2ab}\sqrt{(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)(a+b+c)}$$

5. Теперь введём понятие полупериметра $p = \frac{a+b+c}{2}$. Из этого определения следует, что $a+b+c = 2p$. Выразим через $p$ остальные множители под корнем:

$a+b-c = (a+b+c) - 2c = 2p - 2c = 2(p-c)$

$a+c-b = (a+b+c) - 2b = 2p - 2b = 2(p-b)$

$b+c-a = (a+b+c) - 2a = 2p - 2a = 2(p-a)$

Подставим эти выражения в формулу для $\sin\gamma$: $$\sin\gamma = \frac{1}{2ab}\sqrt{2(p-a) \cdot 2(p-b) \cdot 2(p-c) \cdot 2p}$$ $$\sin\gamma = \frac{1}{2ab}\sqrt{16p(p-a)(p-b)(p-c)}$$ Извлечём 16 из-под корня: $$\sin\gamma = \frac{4}{2ab}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \frac{2}{ab}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

6. В завершение подставим полученное выражение для $\sin\gamma$ в нашу исходную формулу для площади $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$: $$S = \frac{1}{2}ab \cdot \left(\frac{2}{ab}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\right)$$ Сократив $ \frac{1}{2}ab $ и $ \frac{2}{ab} $, получаем искомую формулу Герона: $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$ Что и требовалось доказать.

Ответ: Вывод формулы Герона осуществляется на основе формулы площади треугольника $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$ и теоремы косинусов. Сначала из теоремы косинусов выражается $\cos\gamma$, затем через тригонометрическое тождество $\sin\gamma = \sqrt{1 - \cos^2\gamma}$ находится $\sin\gamma$. Последующие алгебраические преобразования с использованием формул сокращенного умножения и введение полупериметра $p = \frac{a+b+c}{2}$ приводят к окончательному виду формулы $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.