Страница 161 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

631 В ромбе высота, равная 426 см, составляет 23 большей диагонали. Найдите площадь ромба.

Обозначим высоту ромба как $h$, большую диагональ как $d_1$, меньшую диагональ как $d_2$, сторону ромба как $a$ и площадь как $S$.

Из условия задачи мы знаем, что высота ромба $h = \frac{4\sqrt{2}}{6}$ см. Упростим это выражение:$h = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ см.

Также по условию высота составляет $\frac{2}{3}$ от большей диагонали $d_1$:$h = \frac{2}{3} d_1$

Найдем длину большей диагонали $d_1$, подставив в это равенство известное значение высоты $h$:$\frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{2}{3} d_1$Разделив обе части уравнения на $\frac{2}{3}$, получаем:$d_1 = \sqrt{2}$ см.

Площадь ромба можно найти двумя основными способами: через произведение стороны на высоту и через половину произведения диагоналей.$S = a \cdot h$$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$

Приравняем правые части этих формул, чтобы связать между собой сторону и диагонали:$a \cdot h = \frac{1}{2} d_1 d_2$Подставим известные значения $h = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ и $d_1 = \sqrt{2}$:$a \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot d_2$Сократим обе части на $\sqrt{2}$:$a \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2} d_2$Отсюда выразим меньшую диагональ $d_2$ через сторону $a$:$d_2 = \frac{4}{3} a$

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Они образуют четыре равных прямоугольных треугольника, в которых катеты равны половинам диагоналей ($\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$), а гипотенуза является стороной ромба $a$. По теореме Пифагора:$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$

Подставим в это уравнение известные $d_1 = \sqrt{2}$ и полученное выражение для $d_2 = \frac{4a}{3}$:$a^2 = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{\frac{4a}{3}}{2})^2$$a^2 = \frac{2}{4} + (\frac{4a}{6})^2$$a^2 = \frac{1}{2} + (\frac{2a}{3})^2$$a^2 = \frac{1}{2} + \frac{4a^2}{9}$

Решим полученное уравнение для нахождения $a^2$:$a^2 - \frac{4a^2}{9} = \frac{1}{2}$$\frac{9a^2 - 4a^2}{9} = \frac{1}{2}$$\frac{5a^2}{9} = \frac{1}{2}$$5a^2 = \frac{9}{2}$$a^2 = \frac{9}{10}$

Теперь мы можем найти площадь ромба по формуле $S = a \cdot h$. Чтобы не извлекать корень для нахождения $a$, возведем формулу площади в квадрат:$S^2 = a^2 \cdot h^2$Мы уже знаем, что $a^2 = \frac{9}{10}$. Найдем $h^2$:$h^2 = (\frac{2\sqrt{2}}{3})^2 = \frac{4 \cdot 2}{9} = \frac{8}{9}$Подставим значения $a^2$ и $h^2$ в формулу для $S^2$:$S^2 = \frac{9}{10} \cdot \frac{8}{9} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти площадь $S$:$S = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:$S = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ см$^2$.

632 В равнобедренной трапеции диагональ равна 10 см, а высота равна 6 см. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция, в которой диагональ $d = 10$ см, а высота $h = 6$ см. Обозначим трапецию как $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем $AD$ является большим основанием.

Для нахождения площади трапеции используется формула:

$S = m \cdot h$, где $m$ – средняя линия, а $h$ – высота.

Средняя линия трапеции вычисляется как $m = \frac{AD+BC}{2}$.

Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. У нас образуется прямоугольный треугольник $\triangle AHC$. В этом треугольнике гипотенуза $AC$ является диагональю трапеции ($AC = 10$ см), а катет $CH$ является высотой трапеции ($CH = 6$ см).

Используя теорему Пифагора, найдем длину второго катета $AH$:

$AC^2 = AH^2 + CH^2$

$10^2 = AH^2 + 6^2$

$100 = AH^2 + 36$

$AH^2 = 100 - 36 = 64$

$AH = \sqrt{64} = 8$ см.

В равнобедренной трапеции отрезок большего основания от вершины до основания высоты, проведенной из другой вершины (в нашем случае это отрезок $AH$), равен средней линии трапеции. Давайте это покажем.

Проведем вторую высоту $BK$ из вершины $B$. Так как трапеция равнобедренная, прямоугольные треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle DCH$ равны по гипотенузе и катету. Следовательно, $AK = DH$. Четырехугольник $KBCH$ является прямоугольником, поэтому $KH = BC$.

Длина отрезка $AH$ равна сумме $AK$ и $KH$. То есть, $AH = AK + KH$.

Средняя линия трапеции $m = \frac{AD+BC}{2}$. Заменим $AD$ на $AK+KH+DH$ и $BC$ на $KH$:

$m = \frac{(AK+KH+DH)+KH}{2}$

Так как $AK=DH$, то:

$m = \frac{AK+KH+AK+KH}{2} = \frac{2 \cdot AK + 2 \cdot KH}{2} = AK+KH$

Мы видим, что $AH = AK+KH$, и средняя линия $m = AK+KH$. Следовательно, $AH = m$.

Таким образом, средняя линия нашей трапеции равна 8 см.

Теперь мы можем вычислить площадь трапеции:

$S = m \cdot h = 8 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 48 \text{ см}^2$.

Ответ: $48 \text{ см}^2$.

633 В трапеции ABCD диагонали пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника AOB, если боковая сторона CD трапеции равна 12 см, а расстояние от точки О до прямой CD равно 5 см.

Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Пусть $AD$ и $BC$ — основания трапеции.

Докажем важное свойство трапеции: площади треугольников, образованных пересечением диагоналей и прилегающих к боковым сторонам, равны. В нашем случае это означает, что $S_{\triangle AOB} = S_{\triangle COD}$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$. У них общее основание $AD$. Высоты этих треугольников, проведенные из вершин $B$ и $C$ к прямой $AD$, равны между собой, так как обе они равны высоте трапеции. Следовательно, площади этих треугольников равны:

$S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD}$

Площадь треугольника $\triangle ABD$ можно представить как сумму площадей треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle AOD$:

$S_{\triangle ABD} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle AOD}$

Аналогично, площадь треугольника $\triangle ACD$ можно представить как сумму площадей треугольников $\triangle COD$ и $\triangle AOD$:

$S_{\triangle ACD} = S_{\triangle COD} + S_{\triangle AOD}$

Так как $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ACD}$, мы можем приравнять правые части выражений:

$S_{\triangle AOB} + S_{\triangle AOD} = S_{\triangle COD} + S_{\triangle AOD}$

Вычитая из обеих частей равенства $S_{\triangle AOD}$, получаем, что $S_{\triangle AOB} = S_{\triangle COD}$.

Таким образом, чтобы найти площадь треугольника $AOB$, нам достаточно вычислить площадь треугольника $COD$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — сторона треугольника, а $h$ — высота, проведенная к этой стороне.

По условию задачи, боковая сторона $CD = 12$ см. Расстояние от точки $O$ до прямой $CD$ — это высота треугольника $COD$, проведенная к стороне $CD$. Эта высота равна $5$ см.

Вычислим площадь треугольника $COD$:

$S_{\triangle COD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 12 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 6 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 30 \text{ см}^2$.

Поскольку $S_{\triangle AOB} = S_{\triangle COD}$, искомая площадь треугольника $AOB$ также равна $30 \text{ см}^2$.

Ответ: $30 \text{ см}^2$.

634 Диагонали четырёхугольника равны 16 см и 20 см и пересекаются под углом в 30°. Найдите площадь этого четырёхугольника.

Для нахождения площади произвольного выпуклого четырёхугольника используется формула, связывающая длины его диагоналей и угол между ними. Площадь ($S$) равна половине произведения длин диагоналей ($d_1$ и $d_2$) на синус угла ($\alpha$) между ними:
$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin(\alpha)$

Согласно условию задачи, нам известны следующие величины:
Длина первой диагонали $d_1 = 16$ см.
Длина второй диагонали $d_2 = 20$ см.
Угол между диагоналями $\alpha = 30°$.

Подставим эти значения в формулу. Значение синуса угла 30° является табличной величиной и равно $\frac{1}{2}$.
$S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 20 \cdot \sin(30°)$
$S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 20 \cdot \frac{1}{2}$

Выполним вычисления:
$S = \frac{16 \cdot 20}{2 \cdot 2} = \frac{320}{4} = 80$
Таким образом, площадь четырёхугольника составляет 80 см?.

Ответ: 80 см?.

635 В равнобедренном треугольнике ABC с основанием ВС высота AD равна 8 см. Найдите площадь треугольника ABC, если медиана DM треугольника ADC равна 8 см.

Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $BC$, высота $AD$, проведенная к основанию, является также и медианой. Следовательно, точка $D$ — середина основания $BC$, а также $AD \perp BC$. Это означает, что треугольник $ADC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$.

В условии сказано, что $DM$ — медиана треугольника $ADC$. Так как $\triangle ADC$ — прямоугольный, медиана $DM$, проведенная к гипотенузе $AC$, равна половине этой гипотенузы.

Известно, что $DM = 8$ см. Тогда длина гипотенузы $AC$ равна:$AC = 2 \cdot DM = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$. Мы знаем длину гипотенузы $AC = 16$ см и одного катета $AD = 8$ см (высота треугольника $ABC$). Мы можем найти длину второго катета $DC$ по теореме Пифагора:$AC^2 = AD^2 + DC^2$$16^2 = 8^2 + DC^2$$256 = 64 + DC^2$$DC^2 = 256 - 64 = 192$$DC = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$ см.

Так как $D$ — середина основания $BC$, то длина всего основания равна:$BC = 2 \cdot DC = 2 \cdot 8\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$ см.

Площадь треугольника $ABC$ вычисляется по формуле:$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD$Подставим известные значения:$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 16\sqrt{3} \cdot 8 = 8\sqrt{3} \cdot 8 = 64\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $64\sqrt{3}$ см$^2$.

636 Стороны AB и ВС прямоугольника ABCD равны соответственно 6 см и 8 см. Прямая, проходящая через вершину С и перпендикулярная к прямой BD, пересекает сторону AD в точке М, а диагональ BD в точке K. Найдите площадь четырёхугольника ABKМ.

Для решения задачи найдем площадь четырехугольника $ABKM$ как разность площадей прямоугольного треугольника $ABD$ и треугольника $MKD$.

1. Нахождение параметров прямоугольника и его диагонали.
По условию, $ABCD$ — прямоугольник. Его стороны равны $AB = CD = 6$ см и $BC = AD = 8$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$ ($\angle A = 90^\circ$). Площадь этого треугольника равна: $S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см$^2$.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BCD$ ($\angle C = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем длину его гипотенузы $BD$, которая является диагональю прямоугольника: $BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ см.

2. Нахождение длин отрезков на диагонали.
Прямая, проходящая через вершину $C$, перпендикулярна диагонали $BD$ и пересекает ее в точке $K$. Таким образом, $CK$ является высотой в прямоугольном треугольнике $BCD$, проведенной к гипотенузе $BD$.
Площадь треугольника $BCD$ можно также вычислить через гипотенузу и высоту: $S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot CK$. Поскольку $S_{\triangle BCD} = S_{\triangle ABD} = 24$ см$^2$, имеем: $24 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot CK$, откуда $CK = \frac{24}{5} = 4.8$ см.
В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Для $\triangle BCD$: $CD^2 = BD \cdot KD$. $6^2 = 10 \cdot KD \implies 36 = 10 \cdot KD \implies KD = 3.6$ см.
Длина второго отрезка диагонали: $BK = BD - KD = 10 - 3.6 = 6.4$ см.

3. Нахождение длины отрезка MD.
Рассмотрим треугольники $MKD$ и $BCK$.

• $\angle MDK = \angle CBK$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BD$).
• $\angle MKD = \angle BKC$ (как вертикальные углы).

Следовательно, $\triangle MKD \sim \triangle BCK$ по двум углам.
Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: $\frac{MD}{BC} = \frac{KD}{BK}$.
Подставим известные значения: $\frac{MD}{8} = \frac{3.6}{6.4}$.
$MD = 8 \cdot \frac{3.6}{6.4} = 8 \cdot \frac{36}{64} = 8 \cdot \frac{9}{16} = \frac{9}{2} = 4.5$ см.

4. Вычисление площади треугольника MKD.
Площадь $\triangle MKD$ можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Примем за основание отрезок $MD$, который лежит на прямой $AD$. Тогда высотой будет перпендикуляр, опущенный из точки $K$ на прямую $AD$. Обозначим эту высоту $h_K$.
Проведем из точки $K$ перпендикуляр $KP$ к стороне $AD$. Тогда $h_K = KP$.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $KPD$ и $BAD$:

• $\angle D$ — общий.
• $\angle KPD = \angle BAD = 90^\circ$.

Следовательно, $\triangle KPD \sim \triangle BAD$ по двум углам.
Из подобия следует: $\frac{KP}{BA} = \frac{KD}{BD}$.
$\frac{h_K}{6} = \frac{3.6}{10}$.
$h_K = 6 \cdot \frac{3.6}{10} = \frac{21.6}{10} = 2.16$ см.
Теперь вычислим площадь $\triangle MKD$: $S_{\triangle MKD} = \frac{1}{2} \cdot MD \cdot h_K = \frac{1}{2} \cdot 4.5 \cdot 2.16 = 4.86$ см$^2$.

5. Вычисление площади четырехугольника ABKM.
Как было сказано вначале, искомая площадь равна разности площадей $\triangle ABD$ и $\triangle MKD$: $S_{ABKM} = S_{\triangle ABD} - S_{\triangle MKD} = 24 - 4.86 = 19.14$ см$^2$.

Ответ: $19.14$ см$^2$.

637 В треугольнике ABC проведена высота ВН. Докажите, что если:

а) угол А острый, то ВС² = AB² + AC² − 2AC • АН;

б) угол А тупой, то ВС² = AB² + АС² + 2АС • АH.

а)

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором проведена высота $BH$, а угол $A$ — острый. Высота $BH$ перпендикулярна прямой $AC$, поэтому треугольники $BHA$ и $BHC$ являются прямоугольными.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $BHC$ имеем:

$BC^2 = BH^2 + HC^2$

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $BHA$ имеем:

$AB^2 = BH^2 + AH^2$

Из второго равенства выразим $BH^2$:

$BH^2 = AB^2 - AH^2$

Теперь подставим это выражение для $BH^2$ в первое равенство:

$BC^2 = (AB^2 - AH^2) + HC^2$

Так как угол $A$ острый, основание высоты $H$ лежит на луче $AC$. Возможны два случая расположения точки $H$ относительно точки $C$:

1. Если угол $C$ острый, то точка $H$ лежит на отрезке $AC$. Тогда $HC = AC - AH$.

2. Если угол $C$ тупой, то точка $C$ лежит между точками $A$ и $H$. Тогда $HC = AH - AC$.

В обоих случаях квадрат длины отрезка $HC$ будет равен $(AC - AH)^2$, так как $(AH - AC)^2 = (-(AC-AH))^2 = (AC - AH)^2$.

Подставим $HC^2 = (AC - AH)^2$ в наше выражение для $BC^2$:

$BC^2 = AB^2 - AH^2 + (AC - AH)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:

$BC^2 = AB^2 - AH^2 + AC^2 - 2 \cdot AC \cdot AH + AH^2$

Сократим подобные слагаемые ($-AH^2$ и $AH^2$):

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AC \cdot AH$

Что и требовалось доказать.

Ответ: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AC \cdot AH$.

б)

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором проведена высота $BH$, а угол $A$ — тупой. Так как $\angle A$ тупой, основание высоты $H$ будет лежать на продолжении стороны $AC$ за вершину $A$. Таким образом, точка $A$ лежит между точками $H$ и $C$.

Высота $BH$ образует два прямоугольных треугольника: $\triangle BHA$ и $\triangle BHC$.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $BHC$ имеем:

$BC^2 = BH^2 + HC^2$

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $BHA$ имеем:

$AB^2 = BH^2 + AH^2$

Из второго равенства выразим $BH^2$:

$BH^2 = AB^2 - AH^2$

Подставим это выражение для $BH^2$ в первое равенство:

$BC^2 = (AB^2 - AH^2) + HC^2$

Так как точка $A$ лежит между $H$ и $C$, то длина отрезка $HC$ равна сумме длин отрезков $HA$ и $AC$:

$HC = AH + AC$

Подставим это выражение для $HC$ в нашу формулу для $BC^2$:

$BC^2 = AB^2 - AH^2 + (AH + AC)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы:

$BC^2 = AB^2 - AH^2 + AH^2 + 2 \cdot AC \cdot AH + AC^2$

Сократим подобные слагаемые ($-AH^2$ и $AH^2$):

$BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2 \cdot AC \cdot AH$

Что и требовалось доказать.

Ответ: $BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2AC \cdot AH$.

638 На клетчатой бумаге (рис. 218) изображены треугольники. Найдите их площади.

Для нахождения площадей треугольников, изображенных на клетчатой бумаге, используем тот факт, что сторона каждой клетки равна 1 см. Таким образом, площадь одной клетки составляет $1 \text{ см}^2$.

Треугольник а) является прямоугольным. Его площадь можно найти как половину произведения его катетов. Длина горизонтального катета (основания) составляет 5 клеток, то есть $a = 5$ см. Длина вертикального катета (высоты) составляет 3 клетки, то есть $h = 3$ см. Площадь треугольника $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$
Подставив значения, получаем: $S = \frac{1}{2} \cdot 5 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = \frac{15}{2} \text{ см}^2 = 7.5 \text{ см}^2$.
Ответ: $7.5 \text{ см}^2$.

Для нахождения площади треугольника б) используем формулу площади треугольника через основание и высоту. В качестве основания $a$ выберем горизонтальную сторону. Ее длина составляет 5 клеток, то есть $a = 5$ см. Высота $h$, проведенная к этому основанию от верхней вершины, перпендикулярна основанию и ее длина составляет 3 клетки, то есть $h = 3$ см.
Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 5 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 7.5 \text{ см}^2$.
Ответ: $7.5 \text{ см}^2$.

Площадь этого треугольника удобно найти, вписав его в прямоугольник и вычитая площади "лишних" прямоугольных треугольников по углам. Зададим условную систему координат так, чтобы вершины треугольника имели координаты (0,1), (2,0) и (3,4). Опишем вокруг треугольника прямоугольник, стороны которого параллельны осям координат. Вершины этого прямоугольника будут в точках (0,0) и (3,4). Площадь этого прямоугольника: $S_{прям} = 3 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$.
Теперь найдем площади трех прямоугольных треугольников, которые отсекаются от прямоугольника сторонами вписанного треугольника:
Площадь первого (в левом нижнем углу) с катетами 2 см и 1 см: $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1 \text{ см}^2$.
Площадь второго (в правом нижнем углу) с катетами (3-2)=1 см и 4 см: $S_2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4 = 2 \text{ см}^2$.
Площадь третьего (в левом верхнем углу) с катетами 3 см и (4-1)=3 см: $S_3 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4.5 \text{ см}^2$.
Площадь искомого треугольника равна разности площади прямоугольника и суммы площадей этих трех треугольников: $S = S_{прям} - (S_1 + S_2 + S_3) = 12 - (1 + 2 + 4.5) = 12 - 7.5 = 4.5 \text{ см}^2$.
Ответ: $4.5 \text{ см}^2$.

Для нахождения площади используем метод вычитания из площади прямоугольника. Зададим условные координаты вершин треугольника: (0,2), (1,0) и (4,4). Опишем вокруг треугольника прямоугольник, стороны которого проходят через его крайние точки. Вершины прямоугольника будут в точках (0,0) и (4,4). Площадь прямоугольника: $S_{прям} = 4 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 16 \text{ см}^2$.
Теперь вычтем площади трех прямоугольных треугольников, находящихся в углах:
$S_1$ (левый нижний угол) с катетами 1 см и 2 см: $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1 \text{ см}^2$.
$S_2$ (правый нижний угол) с катетами (4-1)=3 см и 4 см: $S_2 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 \text{ см}^2$.
$S_3$ (левый верхний угол) с катетами 4 см и (4-2)=2 см: $S_3 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4 \text{ см}^2$.
Площадь искомого треугольника: $S = S_{прям} - (S_1 + S_2 + S_3) = 16 - (1 + 6 + 4) = 16 - 11 = 5 \text{ см}^2$.
Ответ: $5 \text{ см}^2$.

Применим метод трапеций. Зададим условные координаты вершин, отсортировав их по горизонтальной оси: (0,1), (3,4), (5,2). Площадь треугольника можно найти, сложив площади трапеций под сторонами (0,1)-(3,4) и (3,4)-(5,2), и вычтя площадь трапеции под стороной (0,1)-(5,2).
Площадь под отрезком от (0,1) до (3,4): это прямоугольная трапеция с основаниями 1 и 4, и высотой 3. $S_1 = \frac{1}{2}(1+4) \cdot 3 = 7.5 \text{ см}^2$.
Площадь под отрезком от (3,4) до (5,2): это прямоугольная трапеция с основаниями 4 и 2, и высотой (5-3)=2. $S_2 = \frac{1}{2}(4+2) \cdot 2 = 6 \text{ см}^2$.
Площадь под отрезком от (0,1) до (5,2): это прямоугольная трапеция с основаниями 1 и 2, и высотой 5. $S_3 = \frac{1}{2}(1+2) \cdot 5 = 7.5 \text{ см}^2$.
Искомая площадь треугольника: $S = S_1 + S_2 - S_3 = 7.5 + 6 - 7.5 = 6 \text{ см}^2$.
Ответ: $6 \text{ см}^2$.