Страница 167 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

653 План земельного участка имеет форму треугольника. Площадь изображённого на плане треугольника равна 87,5 см². Найдите площадь земельного участка, если план выполнен в масштабе 1 : 100 000.

Для решения задачи необходимо найти реальную площадь земельного участка, зная его площадь на плане и масштаб этого плана.

1. Определение соотношения площадей.

Масштаб плана 1 : 100 000 является линейным. Это означает, что 1 единица длины на плане соответствует 100 000 таким же единицам длины на местности. Пусть коэффициент подобия $k = 100 \ 000$.

Отношение площадей подобных фигур (в данном случае, треугольника на плане и реального участка) равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_{реальная}}{S_{плана}} = k^2$

2. Вычисление реальной площади.

Самый простой способ – сначала преобразовать линейный масштаб в удобные единицы.

Масштаб 1 : 100 000 означает, что 1 см на плане соответствует 100 000 см на местности.

Переведем 100 000 см в километры:

$100 \ 000 \ \text{см} = 1000 \ \text{м} = 1 \ \text{км}$

Таким образом, линейный масштаб составляет 1 см на плане к 1 км на местности.

Теперь найдем масштаб для площадей, возведя обе части в квадрат:

$(1 \ \text{см})^2$ на плане соответствует $(1 \ \text{км})^2$ на местности.

То есть, $1 \ \text{см}^2$ на плане равен $1 \ \text{км}^2$ в реальности.

Площадь треугольника на плане составляет $S_{плана} = 87,5 \ \text{см}^2$.

Следовательно, реальная площадь земельного участка $S_{участка}$ будет равна:

$S_{участка} = 87,5 \cdot 1 \ \text{км}^2 = 87,5 \ \text{км}^2$

Можно также выразить эту площадь в гектарах. Зная, что $1 \ \text{км}^2 = 100 \ \text{га}$, получаем:

$S_{участка} = 87,5 \cdot 100 \ \text{га} = 8750 \ \text{га}$

Ответ: $87,5 \ \text{км}^2$.

654 Докажите, что отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Пусть даны два подобных треугольника: $?ABC$ и $?A_1B_1C_1$.

Обозначим длины сторон $?ABC$ как $a$, $b$ и $c$. Тогда его периметр $P$ равен сумме длин его сторон: $P = a + b + c$.

Соответствующие стороны подобного ему треугольника $?A_1B_1C_1$ обозначим как $a_1$, $b_1$ и $c_1$. Его периметр $P_1$ равен: $P_1 = a_1 + b_1 + c_1$.

По определению подобных треугольников, отношение их соответственных сторон равно некоторому положительному числу $k$, которое называется коэффициентом подобия.

$\frac{a_1}{a} = \frac{b_1}{b} = \frac{c_1}{c} = k$

Из этих равенств можно выразить длины сторон треугольника $?A_1B_1C_1$ через длины сторон треугольника $?ABC$ и коэффициент подобия $k$:

$a_1 = k \cdot a$
$b_1 = k \cdot b$
$c_1 = k \cdot c$

Теперь найдем отношение периметра $P_1$ к периметру $P$:

$\frac{P_1}{P} = \frac{a_1 + b_1 + c_1}{a + b + c}$

Подставим в числитель полученные выражения для сторон $a_1, b_1, c_1$:

$\frac{P_1}{P} = \frac{k \cdot a + k \cdot b + k \cdot c}{a + b + c}$

Вынесем общий множитель $k$ за скобки в числителе:

$\frac{P_1}{P} = \frac{k(a + b + c)}{a + b + c}$

Поскольку периметр треугольника не может быть равен нулю, мы можем сократить дробь на выражение $(a + b + c)$:

$\frac{P_1}{P} = k$

Таким образом, доказано, что отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Ответ: Что и требовалось доказать.

655 Треугольники ABC и А₁В₁С₁ подобны. Сходственные стороны ВС и B₁C₁ соответственно равны 1,4 м и 56 см. Найдите отношение периметров треугольников ABC и A₁B₁C₁.

Согласно свойству подобных треугольников, отношение их периметров равно коэффициенту подобия. Коэффициент подобия ($k$) — это отношение длин сходственных (соответственных) сторон.

В данном случае, нам даны подобные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Отношение их периметров ($P_{ABC}$ и $P_{A_1B_1C_1}$) будет равно отношению их сходственных сторон $BC$ и $B_1C_1$:

$\frac{P_{ABC}}{P_{A_1B_1C_1}} = k = \frac{BC}{B_1C_1}$

По условию, длины этих сторон равны $BC = 1,4$ м и $B_1C_1 = 56$ см. Чтобы найти их отношение, необходимо привести значения к одной единице измерения. Переведем метры в сантиметры:

$BC = 1,4 \text{ м} = 1,4 \times 100 \text{ см} = 140 \text{ см}$

Теперь можем вычислить отношение периметров:

$\frac{P_{ABC}}{P_{A_1B_1C_1}} = \frac{140 \text{ см}}{56 \text{ см}} = \frac{140}{56}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель чисел 140 и 56 равен 28:

$\frac{140}{56} = \frac{140 \div 28}{56 \div 28} = \frac{5}{2}$

Это отношение можно также представить в виде десятичной дроби: $2,5$.

Ответ: $\frac{5}{2}$.

656 Стороны данного треугольника равны 15 см, 20 см и 30 см. Найдите стороны треугольника, подобного данному, если его периметр равен 26 см.

Пусть стороны данного треугольника (назовем его T?) равны $a_1 = 15$ см, $b_1 = 20$ см и $c_1 = 30$ см.

Сначала найдем периметр данного треугольника $P_1$:

$P_1 = a_1 + b_1 + c_1 = 15 + 20 + 30 = 65$ см.

Пусть стороны искомого треугольника (назовем его T?), подобного данному, равны $a_2$, $b_2$ и $c_2$. По условию, его периметр $P_2 = 26$ см.

Важным свойством подобных треугольников является то, что отношение их периметров равно коэффициенту подобия $k$. Коэффициент подобия — это число, показывающее, во сколько раз стороны одного треугольника больше соответственных сторон другого.

Найдем коэффициент подобия $k$:

$k = \frac{P_2}{P_1} = \frac{26}{65}$

Сократим полученную дробь. Оба числа, 26 и 65, делятся на 13:

$k = \frac{26 \div 13}{65 \div 13} = \frac{2}{5}$

Теперь, зная коэффициент подобия, мы можем найти стороны второго треугольника, так как отношение соответственных сторон также равно $k$:

$\frac{a_2}{a_1} = \frac{b_2}{b_1} = \frac{c_2}{c_1} = k$

Вычислим каждую сторону:

$a_2 = k \cdot a_1 = \frac{2}{5} \cdot 15 = 2 \cdot 3 = 6$ см.

$b_2 = k \cdot b_1 = \frac{2}{5} \cdot 20 = 2 \cdot 4 = 8$ см.

$c_2 = k \cdot c_1 = \frac{2}{5} \cdot 30 = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Для проверки сложим найденные стороны и убедимся, что их сумма равна заданному периметру $P_2$:

$P_2 = 6 + 8 + 12 = 26$ см.

Расчеты верны.

Ответ: стороны подобного треугольника равны 6 см, 8 см и 12 см.