Страница 169 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

657 По данным рисунка 224 найдите х и у.

Найти x

На верхнем рисунке изображены два прямоугольных треугольника. Угол, обозначенный как $\alpha$, является острым углом в каждом из этих треугольников. Поскольку треугольники прямоугольные и имеют по равному острому углу, они являются подобными (по признаку подобия по двум углам).

В подобных треугольниках отношение соответствующих сторон равно. В данном случае, отношение катета, противолежащего углу $\alpha$, к катету, прилежащему к этому же углу, будет одинаковым для обоих треугольников. Это отношение также является тангенсом угла $\alpha$.

Для левого треугольника отношение катетов равно: $\frac{8}{12}$.

Для правого треугольника отношение катетов равно: $\frac{6}{x}$.

Приравняем эти отношения, чтобы составить пропорцию:

$\frac{8}{12} = \frac{6}{x}$

Сначала упростим дробь в левой части: $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.

$\frac{2}{3} = \frac{6}{x}$

Теперь решим пропорцию относительно $x$:

$2 \cdot x = 3 \cdot 6$

$2x = 18$

$x = \frac{18}{2}$

$x = 9$

Ответ: $x = 9$.

Найти y

На нижнем рисунке изображены два прямоугольных треугольника: большой и малый. Малый треугольник является частью большого. У них есть общий острый угол (в правом нижнем углу) и оба они имеют по прямому углу. Следовательно, эти треугольники подобны (по двум углам).

Катеты большого треугольника равны $y$ (вертикальный) и $20 + 8 = 28$ (горизонтальный).

Катеты малого треугольника равны 10 (вертикальный) и 8 (горизонтальный).

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих катетов равно:

$\frac{\text{вертикальный катет большого}}{\text{горизонтальный катет большого}} = \frac{\text{вертикальный катет малого}}{\text{горизонтальный катет малого}}$

Подставим значения:

$\frac{y}{28} = \frac{10}{8}$

Упростим дробь в правой части: $\frac{10}{8} = \frac{5}{4}$.

$\frac{y}{28} = \frac{5}{4}$

Теперь выразим и найдем $y$:

$y = \frac{28 \cdot 5}{4}$

$y = 7 \cdot 5$

$y = 35$

Ответ: $y = 35$.

658 На стороне CD параллелограмма ABCD отмечена точка Е. Прямые АЕ и ВС пересекаются в точке F. Найдите:
а) EF и FC, если DE = 8 см, ЕС = 4 см, ВС = 7 см, АЕ = 10 см;
б) DE и ЕС, если AB = 8 см, AD = 5 см, CF = 2 см.

Для решения задачи рассмотрим треугольники $ \triangle ADE $ и $ \triangle FCE $.

Поскольку $ ABCD $ — параллелограмм, его противолежащие стороны параллельны, то есть $ AD \parallel BC $. Точка $ F $ является точкой пересечения прямых $ AE $ и $ BC $, значит, $ F $ лежит на прямой $ BC $. Следовательно, прямая $ AD $ параллельна прямой $ FC $.

Сравним углы треугольников $ \triangle ADE $ и $ \triangle FCE $:

1. $ \angle AED = \angle FEC $ как вертикальные углы (так как точки $ A, E, F $ лежат на одной прямой, и точки $ D, E, C $ лежат на одной прямой).
2. $ \angle DAE = \angle CFE $ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $ AD $ и $ FC $ и секущей $ AF $.

Следовательно, треугольники $ \triangle ADE $ и $ \triangle FCE $ подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует соотношение их соответственных сторон: $$ \frac{AD}{FC} = \frac{DE}{EC} = \frac{AE}{FE} $$

Также воспользуемся свойствами параллелограмма: его противолежащие стороны равны, т.е. $ AD = BC $ и $ AB = DC $.

По условию дано: $ DE = 8 $ см, $ EC = 4 $ см, $ BC = 7 $ см, $ AE = 10 $ см.
Так как $ ABCD $ — параллелограмм, то $ AD = BC = 7 $ см.
Используя соотношение сторон подобных треугольников, найдем $ FC $: $$ \frac{AD}{FC} = \frac{DE}{EC} $$ $$ \frac{7}{FC} = \frac{8}{4} $$ $$ \frac{7}{FC} = 2 $$ $$ FC = \frac{7}{2} = 3.5 \text{ см} $$ Теперь найдем $ EF $ (или $ FE $): $$ \frac{DE}{EC} = \frac{AE}{FE} $$ $$ \frac{8}{4} = \frac{10}{FE} $$ $$ 2 = \frac{10}{FE} $$ $$ FE = \frac{10}{2} = 5 \text{ см} $$ Ответ: $ EF = 5 $ см, $ FC = 3.5 $ см.

По условию дано: $ AB = 8 $ см, $ AD = 5 $ см, $ CF = 2 $ см.
Так как $ ABCD $ — параллелограмм, то $ DC = AB = 8 $ см.
Точка $ E $ лежит на стороне $ CD $, поэтому $ DE + EC = DC = 8 $ см.
Используя соотношение сторон подобных треугольников, получаем: $$ \frac{AD}{CF} = \frac{DE}{EC} $$ $$ \frac{5}{2} = \frac{DE}{EC} $$ Из этого соотношения выразим $ DE $: $$ DE = \frac{5}{2} EC = 2.5 \cdot EC $$ Подставим это выражение в равенство $ DE + EC = 8 $: $$ 2.5 \cdot EC + EC = 8 $$ $$ 3.5 \cdot EC = 8 $$ $$ EC = \frac{8}{3.5} = \frac{8}{\frac{7}{2}} = \frac{16}{7} \text{ см} $$ Теперь найдем $ DE $: $$ DE = 8 - EC = 8 - \frac{16}{7} = \frac{56 - 16}{7} = \frac{40}{7} \text{ см} $$ Ответ: $ DE = \frac{40}{7} $ см, $ EC = \frac{16}{7} $ см.

659 Диагонали трапеции ABCD с основаниями AB и CD пересекаются в точке О. Найдите:

а) AB, если ОВ = 4 см, OD = 10 см, DC = 25 см;

б) AOOC и BOOD, если AB = а, DC = b;

в) АО, если AB = 9,6 дм, DC = 24 см, АС = 15 см.

В трапеции ABCD основания AB и CD параллельны (AB || CD). Диагонали AC и BD пересекаются в точке O, образуя две пары вертикальных углов и несколько пар накрест лежащих углов.

Рассмотрим треугольники ?AOB и ?COD.

• ?AOB = ?COD (как вертикальные углы).
• ?OAB = ?OCD (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC).
• ?OBA = ?ODC (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей BD).

Следовательно, треугольники ?AOB и ?COD подобны по трём углам (или по первому признаку подобия — по двум углам).Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:$$ \frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} = \frac{AB}{DC} $$Это соотношение является ключом к решению всех пунктов задачи.

а) Найти AB, если OB = 4 см, OD = 10 см, DC = 25 см.
Используем соотношение сторон из подобия треугольников:$$ \frac{BO}{OD} = \frac{AB}{DC} $$Подставим известные значения:$$ \frac{4}{10} = \frac{AB}{25} $$Выразим AB:$$ AB = \frac{4 \cdot 25}{10} = \frac{100}{10} = 10 \text{ см} $$Ответ: 10 см.

б) Найти $ \frac{AO}{OC} $ и $ \frac{BO}{OD} $, если AB = a, DC = b.
Из основного соотношения подобия имеем:$$ \frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} = \frac{AB}{DC} $$Подставляем данные значения длин оснований:$$ \frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} = \frac{a}{b} $$Ответ: $ \frac{a}{b} $.

в) Найти AO, если AB = 9,6 дм, DC = 24 см, AC = 15 см.
Сначала приведем все величины к одной единице измерения — сантиметрам.$$ AB = 9,6 \text{ дм} = 9,6 \cdot 10 \text{ см} = 96 \text{ см} $$Используем соотношение:$$ \frac{AO}{OC} = \frac{AB}{DC} $$Подставим значения:$$ \frac{AO}{OC} = \frac{96}{24} = 4 $$Отсюда получаем, что $ AO = 4 \cdot OC $.
Точка O лежит на диагонали AC, поэтому $ AC = AO + OC $. Нам известно, что AC = 15 см.$$ AO + OC = 15 $$Теперь у нас есть система из двух уравнений:$$ \begin{cases} AO = 4 \cdot OC \\ AO + OC = 15 \end{cases} $$Подставим первое уравнение во второе:$$ 4 \cdot OC + OC = 15 $$$$ 5 \cdot OC = 15 $$$$ OC = \frac{15}{5} = 3 \text{ см} $$Теперь найдем AO:$$ AO = 4 \cdot OC = 4 \cdot 3 = 12 \text{ см} $$Ответ: 12 см.

660 Подобны ли равнобедренные треугольники, если они имеют: а) по равному острому углу; б) по равному тупому углу; в) по прямому углу? Ответ обоснуйте.

Для решения задачи воспользуемся первым признаком подобия треугольников (по двум углам): если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. Также используем свойство равнобедренного треугольника, согласно которому углы при его основании равны, и теорему о сумме углов треугольника, которая составляет $180^\circ$.

а) по равному острому углу;
Нет, не всегда. Равный острый угол в двух равнобедренных треугольниках может занимать разное положение: быть углом при вершине в одном треугольнике и углом при основании в другом. Это может привести к тому, что наборы углов треугольников будут различаться.
Приведем контрпример. Пусть заданный равный острый угол равен $40^\circ$.
Рассмотрим первый равнобедренный треугольник, у которого угол при вершине равен $40^\circ$. Тогда его углы при основании будут равны: $(180^\circ - 40^\circ) / 2 = 140^\circ / 2 = 70^\circ$. Углы этого треугольника: $40^\circ, 70^\circ, 70^\circ$.
Рассмотрим второй равнобедренный треугольник, у которого угол при основании равен $40^\circ$. Тогда второй угол при основании также равен $40^\circ$, а угол при вершине будет равен: $180^\circ - (40^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$. Углы этого треугольника: $40^\circ, 40^\circ, 100^\circ$.
Оба треугольника имеют равный острый угол $40^\circ$, но их углы не равны друг другу ($40^\circ, 70^\circ, 70^\circ$ и $40^\circ, 40^\circ, 100^\circ$). Следовательно, по первому признаку подобия эти треугольники не подобны.
Ответ: не обязательно.

б) по равному тупому углу;
Да, всегда подобны. В любом треугольнике может быть не более одного тупого угла (угла больше $90^\circ$). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если бы они были тупыми, их сумма превысила бы $180^\circ$, что противоречит теореме о сумме углов треугольника. Значит, тупым может быть только угол при вершине.
Пусть два равнобедренных треугольника имеют равный тупой угол $\gamma$ при вершине. Тогда в первом треугольнике углы при основании равны $(180^\circ - \gamma) / 2$. Во втором треугольнике углы при основании также равны $(180^\circ - \gamma) / 2$.
Поскольку все три угла одного треугольника ($\gamma, (180^\circ - \gamma) / 2, (180^\circ - \gamma) / 2$) соответственно равны трем углам другого, то эти треугольники подобны по первому признаку подобия.
Ответ: да.

в) по прямому углу?
Да, всегда подобны. Аргументация схожа с предыдущим пунктом. В треугольнике может быть только один прямой угол ($90^\circ$). Если бы в равнобедренном треугольнике углы при основании были прямыми, их сумма составила бы $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$, что невозможно, так как на третий угол (при вершине) остается $0^\circ$. Следовательно, прямой угол в равнобедренном треугольнике может быть только углом при вершине.
Таким образом, любой равнобедренный треугольник, имеющий прямой угол, является прямоугольным равнобедренным треугольником. Угол при его вершине равен $90^\circ$, а углы при основании равны $(180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$.
Это означает, что любые два равнобедренных треугольника с прямым углом будут иметь одинаковый набор углов: $90^\circ, 45^\circ, 45^\circ$. Следовательно, они подобны по первому признаку подобия.
Ответ: да.