Номер 659, страница 169 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Признаки подобия треугольников. 68. Третий признак подобия треугольников. Глава 8. Подобные треугольники - номер 659, страница 169.

659 Диагонали трапеции ABCD с основаниями AB и CD пересекаются в точке О. Найдите:

а) AB, если ОВ = 4 см, OD = 10 см, DC = 25 см;

б) AOOC и BOOD, если AB = а, DC = b;

в) АО, если AB = 9,6 дм, DC = 24 см, АС = 15 см.

В трапеции ABCD основания AB и CD параллельны (AB || CD). Диагонали AC и BD пересекаются в точке O, образуя две пары вертикальных углов и несколько пар накрест лежащих углов.

Рассмотрим треугольники ?AOB и ?COD.

• ?AOB = ?COD (как вертикальные углы).
• ?OAB = ?OCD (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC).
• ?OBA = ?ODC (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей BD).

Следовательно, треугольники ?AOB и ?COD подобны по трём углам (или по первому признаку подобия — по двум углам).Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:$$ \frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} = \frac{AB}{DC} $$Это соотношение является ключом к решению всех пунктов задачи.

а) Найти AB, если OB = 4 см, OD = 10 см, DC = 25 см.
Используем соотношение сторон из подобия треугольников:$$ \frac{BO}{OD} = \frac{AB}{DC} $$Подставим известные значения:$$ \frac{4}{10} = \frac{AB}{25} $$Выразим AB:$$ AB = \frac{4 \cdot 25}{10} = \frac{100}{10} = 10 \text{ см} $$Ответ: 10 см.

б) Найти $ \frac{AO}{OC} $ и $ \frac{BO}{OD} $, если AB = a, DC = b.
Из основного соотношения подобия имеем:$$ \frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} = \frac{AB}{DC} $$Подставляем данные значения длин оснований:$$ \frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} = \frac{a}{b} $$Ответ: $ \frac{a}{b} $.

в) Найти AO, если AB = 9,6 дм, DC = 24 см, AC = 15 см.
Сначала приведем все величины к одной единице измерения — сантиметрам.$$ AB = 9,6 \text{ дм} = 9,6 \cdot 10 \text{ см} = 96 \text{ см} $$Используем соотношение:$$ \frac{AO}{OC} = \frac{AB}{DC} $$Подставим значения:$$ \frac{AO}{OC} = \frac{96}{24} = 4 $$Отсюда получаем, что $ AO = 4 \cdot OC $.
Точка O лежит на диагонали AC, поэтому $ AC = AO + OC $. Нам известно, что AC = 15 см.$$ AO + OC = 15 $$Теперь у нас есть система из двух уравнений:$$ \begin{cases} AO = 4 \cdot OC \\ AO + OC = 15 \end{cases} $$Подставим первое уравнение во второе:$$ 4 \cdot OC + OC = 15 $$$$ 5 \cdot OC = 15 $$$$ OC = \frac{15}{5} = 3 \text{ см} $$Теперь найдем AO:$$ AO = 4 \cdot OC = 4 \cdot 3 = 12 \text{ см} $$Ответ: 12 см.