Номер 658, страница 169 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Признаки подобия треугольников. 68. Третий признак подобия треугольников. Глава 8. Подобные треугольники - номер 658, страница 169.

658 На стороне CD параллелограмма ABCD отмечена точка Е. Прямые АЕ и ВС пересекаются в точке F. Найдите:
а) EF и FC, если DE = 8 см, ЕС = 4 см, ВС = 7 см, АЕ = 10 см;
б) DE и ЕС, если AB = 8 см, AD = 5 см, CF = 2 см.

Для решения задачи рассмотрим треугольники $ \triangle ADE $ и $ \triangle FCE $.

Поскольку $ ABCD $ — параллелограмм, его противолежащие стороны параллельны, то есть $ AD \parallel BC $. Точка $ F $ является точкой пересечения прямых $ AE $ и $ BC $, значит, $ F $ лежит на прямой $ BC $. Следовательно, прямая $ AD $ параллельна прямой $ FC $.

Сравним углы треугольников $ \triangle ADE $ и $ \triangle FCE $:

1. $ \angle AED = \angle FEC $ как вертикальные углы (так как точки $ A, E, F $ лежат на одной прямой, и точки $ D, E, C $ лежат на одной прямой).
2. $ \angle DAE = \angle CFE $ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $ AD $ и $ FC $ и секущей $ AF $.

Следовательно, треугольники $ \triangle ADE $ и $ \triangle FCE $ подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует соотношение их соответственных сторон: $$ \frac{AD}{FC} = \frac{DE}{EC} = \frac{AE}{FE} $$

Также воспользуемся свойствами параллелограмма: его противолежащие стороны равны, т.е. $ AD = BC $ и $ AB = DC $.

а)

По условию дано: $ DE = 8 $ см, $ EC = 4 $ см, $ BC = 7 $ см, $ AE = 10 $ см.
Так как $ ABCD $ — параллелограмм, то $ AD = BC = 7 $ см.
Используя соотношение сторон подобных треугольников, найдем $ FC $: $$ \frac{AD}{FC} = \frac{DE}{EC} $$ $$ \frac{7}{FC} = \frac{8}{4} $$ $$ \frac{7}{FC} = 2 $$ $$ FC = \frac{7}{2} = 3.5 \text{ см} $$ Теперь найдем $ EF $ (или $ FE $): $$ \frac{DE}{EC} = \frac{AE}{FE} $$ $$ \frac{8}{4} = \frac{10}{FE} $$ $$ 2 = \frac{10}{FE} $$ $$ FE = \frac{10}{2} = 5 \text{ см} $$ Ответ: $ EF = 5 $ см, $ FC = 3.5 $ см.

б)

По условию дано: $ AB = 8 $ см, $ AD = 5 $ см, $ CF = 2 $ см.
Так как $ ABCD $ — параллелограмм, то $ DC = AB = 8 $ см.
Точка $ E $ лежит на стороне $ CD $, поэтому $ DE + EC = DC = 8 $ см.
Используя соотношение сторон подобных треугольников, получаем: $$ \frac{AD}{CF} = \frac{DE}{EC} $$ $$ \frac{5}{2} = \frac{DE}{EC} $$ Из этого соотношения выразим $ DE $: $$ DE = \frac{5}{2} EC = 2.5 \cdot EC $$ Подставим это выражение в равенство $ DE + EC = 8 $: $$ 2.5 \cdot EC + EC = 8 $$ $$ 3.5 \cdot EC = 8 $$ $$ EC = \frac{8}{3.5} = \frac{8}{\frac{7}{2}} = \frac{16}{7} \text{ см} $$ Теперь найдем $ DE $: $$ DE = 8 - EC = 8 - \frac{16}{7} = \frac{56 - 16}{7} = \frac{40}{7} \text{ см} $$ Ответ: $ DE = \frac{40}{7} $ см, $ EC = \frac{16}{7} $ см.