Номер 654, страница 167 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Подобные треугольники. Параграф 1. Определение подобных треугольников. 65. Отношение площадей подобных треугольников - номер 654, страница 167.

Условие.

654 Докажите, что отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 11.

Пусть даны два подобных треугольника: $?ABC$ и $?A_1B_1C_1$.

Обозначим длины сторон $?ABC$ как $a$, $b$ и $c$. Тогда его периметр $P$ равен сумме длин его сторон: $P = a + b + c$.

Соответствующие стороны подобного ему треугольника $?A_1B_1C_1$ обозначим как $a_1$, $b_1$ и $c_1$. Его периметр $P_1$ равен: $P_1 = a_1 + b_1 + c_1$.

По определению подобных треугольников, отношение их соответственных сторон равно некоторому положительному числу $k$, которое называется коэффициентом подобия.

$\frac{a_1}{a} = \frac{b_1}{b} = \frac{c_1}{c} = k$

Из этих равенств можно выразить длины сторон треугольника $?A_1B_1C_1$ через длины сторон треугольника $?ABC$ и коэффициент подобия $k$:

$a_1 = k \cdot a$
$b_1 = k \cdot b$
$c_1 = k \cdot c$

Теперь найдем отношение периметра $P_1$ к периметру $P$:

$\frac{P_1}{P} = \frac{a_1 + b_1 + c_1}{a + b + c}$

Подставим в числитель полученные выражения для сторон $a_1, b_1, c_1$:

$\frac{P_1}{P} = \frac{k \cdot a + k \cdot b + k \cdot c}{a + b + c}$

Вынесем общий множитель $k$ за скобки в числителе:

$\frac{P_1}{P} = \frac{k(a + b + c)}{a + b + c}$

Поскольку периметр треугольника не может быть равен нулю, мы можем сократить дробь на выражение $(a + b + c)$:

$\frac{P_1}{P} = k$

Таким образом, доказано, что отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Ответ: Что и требовалось доказать.