Номер 654, страница 167 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Определение подобных треугольников. 65. Отношение площадей подобных треугольников. Глава 8. Подобные треугольники - номер 654, страница 167.

654 Докажите, что отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Пусть даны два подобных треугольника: $?ABC$ и $?A_1B_1C_1$.

Обозначим длины сторон $?ABC$ как $a$, $b$ и $c$. Тогда его периметр $P$ равен сумме длин его сторон: $P = a + b + c$.

Соответствующие стороны подобного ему треугольника $?A_1B_1C_1$ обозначим как $a_1$, $b_1$ и $c_1$. Его периметр $P_1$ равен: $P_1 = a_1 + b_1 + c_1$.

По определению подобных треугольников, отношение их соответственных сторон равно некоторому положительному числу $k$, которое называется коэффициентом подобия.

$\frac{a_1}{a} = \frac{b_1}{b} = \frac{c_1}{c} = k$

Из этих равенств можно выразить длины сторон треугольника $?A_1B_1C_1$ через длины сторон треугольника $?ABC$ и коэффициент подобия $k$:

$a_1 = k \cdot a$
$b_1 = k \cdot b$
$c_1 = k \cdot c$

Теперь найдем отношение периметра $P_1$ к периметру $P$:

$\frac{P_1}{P} = \frac{a_1 + b_1 + c_1}{a + b + c}$

Подставим в числитель полученные выражения для сторон $a_1, b_1, c_1$:

$\frac{P_1}{P} = \frac{k \cdot a + k \cdot b + k \cdot c}{a + b + c}$

Вынесем общий множитель $k$ за скобки в числителе:

$\frac{P_1}{P} = \frac{k(a + b + c)}{a + b + c}$

Поскольку периметр треугольника не может быть равен нулю, мы можем сократить дробь на выражение $(a + b + c)$:

$\frac{P_1}{P} = k$

Таким образом, доказано, что отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Ответ: Что и требовалось доказать.